唉, Jordan 标准型.

定义 Steinberg var.

我们有

在这里, 我们在最后一项里, 希望把 $n$ 打到 $-n$. 这样就有这个Prop:

Proposition 3.3.4: $Z$ is the union of the conormal bundles to all $G$-orbits in $\mathcal{B}\times \mathcal{B}$.

然后, 在 $\mathcal{B}\times \mathcal{B}$ 里, 记 $w\in\mathbb{W}$ 对应的轨道为 $Y_w$,

Cor 3.3.5: (i) $Z=\sqcup_{w\in\mathbb{W}} T^*_{Y_w}(\mathcal{B}\times \mathcal{B})$.

(ii) Irr. components of $Z$ are parametrized by elements of $W$. Every irr components is the closure of $T^*_{Y_w}(\mathcal{B}\times \mathcal{B})$ for a uniquely determined $w\in \mathbb{W}$.

现在取 $\mathfrak{b}\subset \mathfrak{g},\mathfrak{n}=[\mathfrak{b},\mathfrak{b}]$, 下面这个定理是本章的核心:

Theorem 3.3.6: $\mathbb{O}$ coadjoint orbit in $\mathfrak{g}^*$. Let $x\in\mathbb{O}$ be s.t. $x|_{\mathfrak{n}}=0$, then $\mathbb{O}\cap (x+\mathfrak{b}^\perp)$ is a (possibly singular) lagrangian subvariety in $\mathbb{O}$ w.r.t. the natural sympletic structure on coadjoint orbits.

如果通过 Killing form 给定 $\mathfrak{g}\simeq \mathfrak{g}^*$, 那么这个也可以看做

Theorem 3.3.7: $\mathbb{O}\subset \mathfrak{g}$ conj. class, $x\in \mathbb{O}\cap \mathfrak{b}$. Then $\mathbb{O}\cap(x+\mathfrak{n})$ is a lagrangian subvar. in $\mathbb{O}$.

他只对 $x$ nilp. 的 case 进行说明. 其他的 case 是 “less difficult and less interesting” 的

Lemma 3.3.8: $\dim( \mathbb{O}\cap\mathfrak{n})\leq \frac{1}{2}\dim\mathbb{O}$.

取 $n=\dim\mathfrak{n}=\dim \mathcal{B}$. Then, $\dim T^*\mathcal{B}=2n=\dim Z$, $Z_0={(x,\mathfrak{b},\mathfrak{b}’)\in Z|x\in O}$.

$Z_0\to \mathbb{O}$ 给出 fiber equals to $\mathcal{B}_x\times \mathcal{B}_x$:

由于 $\dim Z_0\leq \dim Z=2n$.

考虑 $S={g|gxg^{-1}\in \mathfrak{b}}$, 通过(不难但要想一下)的代数讨论有 $B\mathfrak{b}s S\simeq \mathcal{B}_x$. 于是,

而 $y\in \mathbb{O}\cap \mathfrak{n}\iff y=gxg^{-1}, g\in S$. 有 $\dim(\mathbb{O}\cap \mathfrak{n})=\dim S-\dim Z_G(x)$.

于是,

原 Thm 的证明要用到这样的定理:

Theorem 1.5.7: $A$ solvable alg. gp with a Hamiltonian action acts on a symplectic alg. var. $M$. Let $\mathfrak{a}=Lie A$, $\mu: M\to \mathfrak{a}$ moment map. Then for any coadjoint orbit $\mathbb{O}\subset \mathfrak{a}$, $\mu^{-1}\mathbb{O}$ either empty or coisotropic subvar.

这个从某种意义上来说, 就是隐函数定理. 我们现在考虑 $B$ 在其上的作用, 得到 moment map, 从而得到交换图

然后根据定理, $\mu_B^{-1}(0)=\mathbb{O}\cap \mathfrak{n}$ coisotropic. 再根据前面lemma的维数公式, 得到 $\mathbb{O}\cap\mathfrak{n}$ lagrangian.

考虑 $SL_n$, $\mathbb{O}$ 为所有 rank 1 的 nilpotent 矩阵. 如果你博资考复习比较充分, 可以发现他们都"实相似". 当然我们只需要知道他们复相似. 不难说明 $\dim\mathbb{O}=2n-2$.

然后取 $\mathfrak{n}$ 是上三角矩阵, 那么不难发现, $\mathfrak{n}\cap\mathbb{O}$ 是那些 $k\times (n-k-1)$ 的右上矩阵全体的有限并, 拥有 $\dim=n-1$.

现在考虑 $x\in \mathbb{O}$ s.r. 根据 3.1.43, 有 $x+\mathfrak{n}=B\cdot x$. 于是, 我们有

Lemma 3.3.16: For s.r. $x\in\mathfrak{b}$, $x+\mathfrak{n}$ is a $B$-stable lagrangian subvar. of $\mathbb{O}$.

现在考虑 $\tilde{\mathbb{O}}=\mu^{-1}\mathbb{O}$ 包含了某个 sr element. 我们有 $\mathbb{O}\simeq G/T$. 但是根据 fibration

我们可以得到 $\pi_1(G/T)=0$, for $\pi_0(T)=\pi_1(G)=0$.

于是 $\mu:\tilde{\mathbb{O}}\to \mathbb{O}$ 是一个trivial covering of $# W$ components. 考虑 $\pi:\tilde{\mathfrak{g}}\to \mathcal{B}$, 我们有, 一个 $\tilde{\mathbb{O}}$ 的连通分支同构于 $G\times_B(x+\mathfrak{n})$. $\pi$ 是一个 fibration with the form

然后, 通过 $\mu:\tilde{\mathbb{O}}\to \mathbb{O}$, 可以将这个 fibration 转移到 $\mathbb{O}$ 上去. 具体的转移方法跳了() 只需知道不同的连通分支对应不同的 fibration.

我们现在需要一些 3.3.6 的 cor. 对于 $\mathbb{O}\subset \mathcal{N}$,

Cor 3.3.20: For any coadjoint orbit $\mathbb{O}$, each irr. component of $Z_0$ has the same $\dim Z_0$, and

利用 $\pi:\tilde{N}=G\times_B \mathfrak{n}\to G/B$ restricted to $\tilde{\mathbb{O}}$, gives an isom $\tilde{\mathbb{O}}\simeq G\times_B(\mathbb{O}\cap\mathfrak{n})$. 因此所有的irr comp. 都有维数

于是, $Z=\cap_\mathbb{O} Z_{0}$ 给出了等维度的 locally closed subsets of the full dim.

考虑 $x\in\mathbb{O}$, $G(x)$ 使 $x$ 共轭不变的子群. 那么 $\mathbb{O}\simeq G/G(x)$.

令 $G$ 作用在 $\mathcal{B}$ 下, 得到 isom $\tilde{\mathbb{O}}=G\times_{G(x)} \mathcal{B}_x$. 于是

于是, 他的 irr comp 为 $\mathcal{B}_1\times \mathcal{B}_2$, 其中 $\mathcal{B}_i$ 为 $\mathcal{B}_x$ 的 irrcomp.

特别地, 取 $\mathcal{B}_1=\mathcal{B}_2$, 有

Cor 3.3.24: 所有 irr comp of $\mathcal{B}_x$ 都拥有相同的维数 $\dim \mathcal{B}_x$. 且

考虑 $C(x)=G(x)/G^0(x)$, $G^0(x)$ conn. component of $G(x)$. 于是 $G(x)$ 的作用 induces 了 $C(x)$ 在 ${\mathcal{B}_x^{\alpha}}$ irr components 上的作用.

Cor 3.3.27: The irr components of $Z_0$ are of the form $Z^{\alpha,\beta}_0=G\times _{G(x)}(\mathcal{B}_x^{\alpha}\times \mathcal{B}_x^{\beta})$ s.t. the components of $Z_0$ are in 1-1 corre with the $C(x)$-orbits on pairs of components of $\mathcal{B}_x$.

Cor 3.3.28: The number of nilp. conj. classes in $\mathfrak{g}$ is finite.

$Z=\cap Z_0$, with each $Z_0$ locally closed of pure dim. equal to $\dim Z$, the union must be finite.

?

怎么这么几何()