唉, Jordan 标准型.
定义 Steinberg var.
我们有
在这里, 我们在最后一项里, 希望把 打到 . 这样就有这个Prop:
Proposition 3.3.4: is the union of the conormal bundles to all -orbits in .
然后, 在 里, 记 对应的轨道为 ,
Cor 3.3.5: (i) .
(ii) Irr. components of are parametrized by elements of . Every irr components is the closure of for a uniquely determined .
现在取 , 下面这个定理是本章的核心:
Theorem 3.3.6: coadjoint orbit in . Let be s.t. , then is a (possibly singular) lagrangian subvariety in w.r.t. the natural sympletic structure on coadjoint orbits.
如果通过 Killing form 给定 , 那么这个也可以看做
Theorem 3.3.7: conj. class, . Then is a lagrangian subvar. in .
他只对 nilp. 的 case 进行说明. 其他的 case 是 "less difficult and less interesting" 的
Lemma 3.3.8: .
取 . Then, , .
给出 fiber equals to :
由于 .
考虑 , 通过(不难但要想一下)的代数讨论有 . 于是,
而 . 有 .
于是,
原 Thm 的证明要用到这样的定理:
Theorem 1.5.7: solvable alg. gp with a Hamiltonian action acts on a symplectic alg. var. . Let , moment map. Then for any coadjoint orbit , either empty or coisotropic subvar.
这个从某种意义上来说, 就是隐函数定理. 我们现在考虑 在其上的作用, 得到 moment map, 从而得到交换图
然后根据定理, coisotropic. 再根据前面lemma的维数公式, 得到 lagrangian.
考虑 , 为所有 rank 1 的 nilpotent 矩阵. 如果你博资考复习比较充分, 可以发现他们都"实相似". 当然我们只需要知道他们复相似. 不难说明 .
然后取 是上三角矩阵, 那么不难发现, 是那些 的右上矩阵全体的有限并, 拥有 .
现在考虑 s.r. 根据 3.1.43, 有 . 于是, 我们有
Lemma 3.3.16: For s.r. , is a -stable lagrangian subvar. of .
现在考虑 包含了某个 sr element. 我们有 . 但是根据 fibration
我们可以得到 , for .
于是 是一个trivial covering of components. 考虑 , 我们有, 一个 的连通分支同构于 . 是一个 fibration with the form
然后, 通过 , 可以将这个 fibration 转移到 上去. 具体的转移方法跳了() 只需知道不同的连通分支对应不同的 fibration.
我们现在需要一些 3.3.6 的 cor. 对于 ,
Cor 3.3.20: For any coadjoint orbit , each irr. component of has the same , and
利用 restricted to , gives an isom . 因此所有的irr comp. 都有维数
于是, 给出了等维度的 locally closed subsets of the full dim.
考虑 , 使 共轭不变的子群. 那么 .
令 作用在 下, 得到 isom . 于是
于是, 他的 irr comp 为 , 其中 为 的 irrcomp.
特别地, 取 , 有
Cor 3.3.24: 所有 irr comp of 都拥有相同的维数 . 且
考虑 , conn. component of . 于是 的作用 induces 了 在 irr components 上的作用.
Cor 3.3.27: The irr components of are of the form s.t. the components of are in 1-1 corre with the -orbits on pairs of components of .
Cor 3.3.28: The number of nilp. conj. classes in is finite.
, with each locally closed of pure dim. equal to , the union must be finite.
?
怎么这么几何()