等变 理论!
我们本章提到的所有 , 都是 的一个闭子群.
首先考虑 -var. 有 two natural maps
而 被称作 invar. function, 如果
我们希望, 忘掉这些 points, 也就是说我们定义 pull-back of functions on , 有
而, 在 作用下的结合律, 就可以看做在 上,
熟悉代数几何的人应该知道, 对于 morph. of var., 是 上的 sheaf. 有 sheaf on . 而对于 -mod, 可以 pull-back 为 -mod , by .
好, 以防你是个神人, 忘了这几个 pull-back 是什么. 我在这里抄一遍定义.
, 实际上在 Hartshorne 上的记号是 , given by sheaf associated to the presheaf . 对于 -mod , pull-back 定义为 .
Defn 5.1.6: of -mods on an alg. -var. is called -equiv if the following conditions holds
(a) There is a given isom of sheaves on
(b) The pullbacks by and of the isom are related by the eqn.
where is the proj. along the first factor .
(c) : .
对于并非 -mods 的 我们也可以有相似定义, 只是把所有 的 pull-back 换成 sheaf-version 的 .
Remarks 都是为了加深这个定义的理解的:
- 对于 sheaf , 我们有自然的 canonical -equiv. structure given by
-
实际上 (c) 是"多余的", 他可以由 (a)(b) 导出.
-
尽管 "等变层" 和 "不变函数" 的定义很像, 他俩还是本质不同的: 一个函数要么是不变的要么不是不变的, 但纠结一个层是不是等变的好像没啥用. 等变层给出了更多信息, 而这些信息不是唯一的(这句话没太懂orz). 此外, 不变函数的 可以直接推出 , 但等变层定义的 (a) 并不能推出 (b).
考虑 是一个 locally free sheaf, 也就是说, 上的 line bundle. 考虑 total space, 有 projection. 于是给出 , 等价于给出 , 满足
也就是说, 给出 上的 -action. 而, 给出 -equivariant structure 则等价于给出这样的 -action, 满足
(1) The proj. commutes with -action; in particular, takes to .
(2) 对任意 , 是一个 v.s. 的 linear map.
Theorem 5.1.9: linear alg. gp, smooth (more generally, normal), arbitrary alg line bundle on . There exists s.t. admits a -equiv. structure (possibly not unique).
Remark 是说, 如果不假设这个 normality, 这个定理是错的.
我们接下来要证明这个定理. 设 normal alg. var. abelian group for the classes of divisors (linear combinations of codim 1 subvar. with multiplicities) in modulo linear equiv.
Prop 5.1.11: For a normal alg. var , we have
(1) If smooth then the abelian gp. the isom. classes of line bundles on is naturally isom. to .
(2) For any , the pullback of divisors w.r.t. the proj. gives an isom. .
(3) Let be a Zar. open subset and write for the distinct irr. components of of codim in , then one has a natural exact seq. of the pair :
where the first map sends to , and the second is given by restriction to .
(1) 的证明可以 follow 代数几何II hw10 的 3, by . (3) 比较 trivial, (2) ... 也许我们应该相信在 Hartshorne 上面能找到. 根据 (3) 自然有 , 虽然这句也没太明白(). 于是, 有 isom.
结合 (a), 有
Cor 5.1.12: Let , smooth var., proj. of . Let has Zar-open dense subset to . Then, any line bundle on isom. to an externel tensor prod. of line bundles on the factors. Specifically, for any , there is an isom
这是因为有
于是, 由 , 也就是 , 和 中的元素, 也就是 生成.
这里有个 Remark, 是说对于 normal, smooth points 的情况, 我们的 cor. 也对.
对于 , 我们 write 为其上的 regular invertible function, 也就是说, alg. maps .
Lemma 5.1.15: For any irr. alg. var. , canonical map is surj.
为此, 考虑 , 我们需要说明 . 于是, 只需要对 中 的 Zar. open nbhd 说明即可.
现在, WLOG, assume smooth affine, 于是我们可以考虑 包含 作为 open dense subsets. 为此我们只需要将其嵌入 然后考虑闭包, normalize 即可.
考虑 rational function on , 其 divisor 包含于 . 于是, 由 和 生成. 若 在 上有 order 为 的 zero, 则其在某个 的取值为 . 由于 在 里 dense, 我们可假设 . 但, , 得到矛盾.
同样地方法我们可以处理 上有 order 为 的 pole 和 上有 zero 或 pole 的情况. 于是 . 但由于 proj, .
先写到这().