考虑所有 finite codim two-sided ideal of , 其给出了 上的拓扑. 而由于 , 我们可以给出有限维表示 使得 在上面作用是非平凡的, 这个拓扑是 separating 的. 于是我们考虑
我们给出了嵌入 . 与此同时, 对任意 的有限维表示, 其自然地给出了 的表示.
这样就把有限维的 表示转化到了 上. 事实上, 我们可以几何地看 .
对于 的 module , 我们当然可以分解出
我们可以自然地 identify with , 那么
于是对任意 finite codim 的 我们得到了
而这个是 compatible with 逆向极限的结构的, 有
可以被 characterized by 所有 acts non-trivially on 某个 central character 为 的 f.d. mod, 且 trivially on 所有 central character 为 的 f.d. mod. 回忆 4.4.30(a), 我们有
这样我们也可以考虑其 proj. lim. 由于, 根据 4.1.12, 我们有 , 且 . 我们实际上诱导了 well-def. 的 homo.
而更精确的刻画是:
Proposition 4.4.36: For each , there is a natural (& continuous) isom. of complete topological algs
s.t.
Proof: fix , 根据 diagram
我们给出了 上的 -mod 结构.
在写 4.2 的时候我们提到过, 由于 所有 highest weight 为 使得 的 表示都在 中出现过. 因此, 取 , 我们有
那么
显然, 在 acts by multiplication by on each tensor components, 也就是说, multiplication by
最后, 由于任意 simple f.d. -mod with central char. 都在 中出现, 构成了 附近的拓扑基, 得证.
不要温柔地走进那个两页
fix , take with .
我们对于 , 给出其上的标准 coord. -step flag , . 于是我们可以定义 flag var.
以及 "Springer's resolution":
那么, 就是 的 cotangent bundle. 注意, 这和一般的 Springer resol. 不一样: 他并没有一个 zero-section, .
我们有 proj. . 根据 4.4.23, 的 fibres 总是有限维的 proj. var. 最后, 我们考虑 , 可以看做 的 irr. components 之 fundamental classes 的无限和.
那么第四章就结束了. 这一章就是比较具体的构造, 在 4.1 我们考虑 是"比较一般的", 也就是说, codim 取值在某一个分划里的 flag, . 利用分划上的操作, 给出了 到 的满射. 而 4.2 则是开始具体利用之构造 的表示: 让 作用在 上, 这里面比较重要的结论就是最标准的 (利用 给出最 "极限" 的构造得到的 flag) , 在作用下恰好对应最低与最高权向量.
而, 我又要引用一遍这个"熟知的表示论结论", 所有 highest weight 为 使得 的 表示都在 中出现过. 在给出
的同时, 也启发我们将这些空间"并起来"--实际上是取逆向极限, 得到所有有限维 表示. 这也就是最后一章 Stabilization 的内容. 最终我们能得到 4.4.36, 也就是上面结果的推广.
至少到现在为止, 这些东西都是比较 set-theoretical 的. 他的几何部分来自于 variety 的 Borel-Moore homology, 更准确地说, 来自于其上的 convolution product 结构.
而下一章就要涉及升级的数学了: K-理论, Koszul complex, Chern char, localization 和函子性, 这可能就是 real AG.
下班!