等着
4.2 具体的, 基于前述 Theorem 给出的关于 $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$-mods 的讨论.
我们用 $\mathfrak{gl}_n$ 来进行讨论, 它的优势是比 $\mathfrak{sl}$ 结构更简单一点. 对于 $n$-tuples of integers $m=(m_1,\cdots,m_n)$, 我们考虑 $a=(a_1,\cdots,a_n)\mapsto a_1m_1+\cdots+a_nm_n$ general weight.
现在对于 $x\in N$, 我们定义
\[F^{max}(x)=(0=\ker (x^0)\subset \ker (x)\subset \ker (x^2)\subset \cdots\subset \ker(x^n)=\mathbb{C}^d),\]\[F^{min}(x)=(0=\operatorname{im} (x^n)\subset \operatorname{im} (x^{n-1})\subset \operatorname{im} (x^{n-2})\subset \cdots\subset \operatorname{im}(x^0)=\mathbb{C}^d).\]我们可以发现, $F^{max}(x),F^{min}(x)\in \mathcal{F}_x$. 考虑 $d_i=\dim \ker (x^i)-\dim \ker (x^i)$, 我们有
Lemma 4.2.1: $\vec{d}(x)$ 是一个 dominant weight, 也就是说, $d_i\geq d_{i+1}$.
显然, 对任意的 $F\in\mathcal{F}_x$, $F^{\min}\leq F\leq F^{max}$. 我们有
Thm 4.2.3 We have
(a) For any $x\in N$, the simple $\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C})$-mod $H(\mathcal{F}_x)$ has the weight
\[\vec{d}(x)=(d_1\geq d_2\geq \cdots\geq d_n),d_i=\dim\ker(x^i)-\dim\ker(x^{i-1}).\](b) The flag $F^{max}(x)$ (resp. $F^{min}(x)$) is an isolated pt. of the fiber $\mathcal{F}_x$ and the corresponding fundamental classes $[F^{max}(x)]\in H(\mathcal{F}_x)$ is a highest weight vector (resp. $F^{min}(x)$ lowest weight) in $H(\mathcal{F}_x)$.
考虑 $H(Z)$ 在 $\mathcal{F}_x$ 上的作用, 我们会得到对于 $h_{\alpha}$ 对应的 $\sum d{\alpha}[T^\ast_\Delta(\mathcal{F}_d\times \mathcal{F}_d)]$, 其某项 $T^\ast_\Delta(\mathcal{F}_d\times \mathcal{F}_d)$ 在 $\mathcal{F}_{d^\prime}$ 上的作用为 $0$, 若 $d^\prime\neq d$, 否则则为 id. 因此 $\mathfrak{h}$ 在 $F^{\max}$ 上的作用确实拥有特征函数 $(d_1,d_2,\cdots)$.
实际上, $\mathfrak{h}$ 在 $F$ 上作用的特征函数为 $(d_{1,F},d_{2,F}\cdots)$, 由于 $F^{max}\geq F\geq F^{min}$, 得证.
我们能发现定义 $Z$ 的时候, 最最开始就要从 $\mathbb{C}^d$ 出发. 那么这个 $H(Z)$ 的结构大概率和这个 $d$ 是有关的. 根据 Macdonald 一本关于 Symmetric function and Hall poly. 的书上的结论, 所有 highest weight 为 $m_1,\cdots,m_n$ 使得 $\sum m_i=d$ 的 $\mathfrak{sl}_n$ 表示都在 $(\mathbb{C}^n)^{\otimes d}$ 中出现过. 因此, 取 $I_d=\operatorname{Ann}((\mathbb{C}^n)^{\otimes d})\subset U(\mathfrak{sl}_n)$, 我们有
\[U(\mathfrak{sl}_n)/I_d\simeq H(Z).\]这章最后就是看 $\mathfrak{sl}_2$ 的例子. 这种情况下也就是说一个 $\mathbb{C}^d$ 的子空间 $V$, $0\subset V\subset \mathbb{C}^d$. 于是
\[\mathcal{F}=\sqcup_k \operatorname{Gr}(k,d).\]取 $x$, 由于 $x^2=0$, $x$ 只能有 $k$ 个 $1\times 1$ 和 $l$ 个 $2\times 2$ 的 Jordan Block.
于是, $d_1=k+l,d_2=l$. 其 highest weight 等于 $k$. 于是, 他希望考虑 $l=0$, $k=d$ 的 case. 于是, $\mathcal{F}_x=\mathcal{F}=\sqcup_k \operatorname{Gr}(k,d)$. 有 $\dim H(\mathcal{F}_x)=d+1$, 其对应了一个 $k+1$ 维表示.
现在, 对于 $e,h,f$, 我们希望研究他们在 ${[\operatorname{Gr}(i,d)]}$ 上的作用. 为此, 根据前述定义我们有
\[Y_{i+1,i}=\{(F,\mathcal{F}^\prime)|F_1\supset F_1^\prime,\dim F_1/F_1^\prime=1\},\]\[Y_{i-1,i}=\{(F,\mathcal{F}^\prime)|F_1\subset F_1^\prime,\dim F_1^\prime/F_1=1\}.\]我们知道
\[e\mapsto \sum_{i}[T^\ast_{Y_{i+1,i}}(\operatorname{Gr}(i+1,d)\times \operatorname{Gr}(i,d))],\]\[f\mapsto \sum_{i}[T^\ast_{Y_{i-1,i}}(\operatorname{Gr}(i-1,d)\times \operatorname{Gr}(i,d))],\]考虑 $e$ convolution on $[\operatorname{Gr}(i,d)]$.
中间略过去一些讨论. 这个基本的原因是我们有 fiber of the projection
\[Y_{i+1,i}\hookrightarrow \operatorname{Gr}(i+1,d)\times \operatorname{Gr}(i,d)\to \operatorname{Gr}(i+1,d)\]可以被看做是 $\mathbb{P}^k$. 于是
\[e[\operatorname{Gr}(i,d)]=[T^\ast_{Y_{i+1,i}}(\operatorname{Gr}(i+1,d)\times \operatorname{Gr}(i,d))]\ast [\operatorname{Gr}(i,d)]=\chi(\mathbb{P}^k)[\operatorname{Gr}(i,d)]=(i+1)[\operatorname{Gr}(i,d)].\]同样地,
\[f[\operatorname{Gr}(i,d)]=(d-i+1)[\operatorname{Gr}(i,d)].\]Prop 4.2.12: $\mathfrak{sl}_n$-action on $H(\mathcal{F})$ 给出了到 $\mathbb{C}^d[t_1,\cdots,t_n]$ degree $d$ 的 homog. polynomials 的自然的 $\mathfrak{sl}_n$-模同构.
这是因为,
\[[T^\ast_{Y_{d_\alpha^+,d}}]\ast[\mathcal{F}_d]=\chi(\mathbb{P}^{d_{\alpha}})[\mathcal{F}_{d_\alpha^+}],\]\[[T^\ast_{Y_{d_\alpha^-,d}}]\ast[\mathcal{F}_d]=\chi(\mathbb{P}^{d_{\alpha+1}})[\mathcal{F}_{d_\alpha^-}],\]于是,
\[e_\alpha\ast [\mathcal{F}_d]=(d_\alpha+1)[\mathcal{F}_{d_{\alpha}^+}],\]\[f_\alpha\ast [\mathcal{F}_d]=(d_{\alpha+1}+1)[\mathcal{F}_{d_{\alpha}^+}],\]\[h_\alpha\ast [\mathcal{F}_d]=(d_\alpha-d_{\alpha+1})[\mathcal{F}_{d}].\]注意 $\mathfrak{sl}_n$ 在 $\mathbb{C}^d[t_1,\cdots,t_n]$ 上的作用为
\[e_{\alpha}\mapsto t_{\alpha+1}\frac{\partial}{\partial t_{\alpha}},f_{\alpha}\mapsto t_{\alpha}\frac{\partial}{\partial t_{\alpha+1}},h_{\alpha}\mapsto t_{\alpha+1}\frac{\partial}{\partial t_{\alpha+1}}-t_{\alpha}\frac{\partial}{\partial t_{\alpha}}.\]于是,
\[\Psi: [\mathcal{F}_{\vec{d}}]\mapsto \frac{1}{d_1!d_2!\cdots d_n!}t_1^{d_1}\cdots t_n^{d_n}, \vec{d}=(d_1,\cdots,d_n).\]给出了上述同构
4.3 是 Proof of Main Theorem. 这个大概就是一些很细致的几何讨论, 首先 check 他跟那个 serre relation 相容, 然后 check 满射性质.
这一章就不细看了() 虽然又很几何又很表示论, 但可能不太几何表示论.
准备开 4.4, 他讲的是 Stabilization.
21:25 upd. 修复了公式