等着
4.2 具体的, 基于前述 Theorem 给出的关于 -mods 的讨论.
我们用 来进行讨论, 它的优势是比 结构更简单一点. 对于 -tuples of integers , 我们考虑 general weight.
现在对于 , 我们定义
我们可以发现, . 考虑 , 我们有
Lemma 4.2.1: 是一个 dominant weight, 也就是说, .
显然, 对任意的 , . 我们有
Thm 4.2.3 We have
(a) For any , the simple -mod has the weight
(b) The flag (resp. ) is an isolated pt. of the fiber and the corresponding fundamental classes is a highest weight vector (resp. lowest weight) in .
考虑 在 上的作用, 我们会得到对于 对应的 , 其某项 在 上的作用为 , 若 , 否则则为 id. 因此 在 上的作用确实拥有特征函数 .
实际上, 在 上作用的特征函数为 , 由于 , 得证.
我们能发现定义 的时候, 最最开始就要从 出发. 那么这个 的结构大概率和这个 是有关的. 根据 Macdonald 一本关于 Symmetric function and Hall poly. 的书上的结论, 所有 highest weight 为 使得 的 表示都在 中出现过. 因此, 取 , 我们有
这章最后就是看 的例子. 这种情况下也就是说一个 的子空间 , . 于是
取 , 由于 , 只能有 个 和 个 的 Jordan Block.
于是, . 其 highest weight 等于 . 于是, 他希望考虑 , 的 case. 于是, . 有 , 其对应了一个 维表示.
现在, 对于 , 我们希望研究他们在 上的作用. 为此, 根据前述定义我们有
我们知道
考虑 convolution on .
中间略过去一些讨论. 这个基本的原因是我们有 fiber of the projection
可以被看做是 . 于是
同样地,
Prop 4.2.12: -action on 给出了到 degree 的 homog. polynomials 的自然的 -模同构.
这是因为,
于是,
注意 在 上的作用为
于是,
给出了上述同构
4.3 是 Proof of Main Theorem. 这个大概就是一些很细致的几何讨论, 首先 check 他跟那个 serre relation 相容, 然后 check 满射性质.
这一章就不细看了() 虽然又很几何又很表示论, 但可能不太几何表示论.
准备开 4.4, 他讲的是 Stabilization.
21:25 upd. 修复了公式