1個　頂戴　ベイビー！

还是不能两天不看数学()

总是要多拉扯拉扯, 马上有那个很好很好的暑校了

不稍稍打点基础感觉身上有神里绫华在爬()

考虑 $M_{d}={(x,F)|x(F_j)\subset F_{j-1}}$. 我们自然有 proj. $\mu:M_d\to N_d$. 于是有 $\mathbb{F}=(0\subset \mathbb{C}\subset \mathbb{C}^2\subset \cdots\subset \mathbb{C}^n)$. 我们可以给出 $i:\mathcal{F}_d\hookrightarrow\mathcal{F}_{d+n}$ by

那么, 实际上我们就可以给出来 embedding $i:M_d\hookrightarrow M_{d+n}$ by $(x,F)\mapsto (i(x),i(F)).$ 于是我们得到 commutative diag.

而根据

lemma 4.4.23: $\forall x\in N_d$, $i(\mathcal{F}_x)=\mathcal{F}_{i(x)}$.

上述 diag 是一个 cartesian square.

这个 lemma 的证明是比较 set-theoretical 的, 会者不难().

于是, 我们可以将 $N_d$ 上的结论 lift 到 $M_d$ 上. 对于 $x\in N_d$ 我们可以考虑 $S$ standard transverse slice at $x$ to $\mathbb{O}$. Take $\tilde{S}=\mu^{-1}(S)\subset M_d$ inverse image in $M_d$, $\tilde{S}^\dagger$ inverse image of $S^\dagger$ in $M_{d+n}$. 有

Lemma 4.4.25: $i(\tilde{S})=\tilde{S}^\dagger$.

好, 接下来我们要研究 $Z$. take $U\subset N_{d+n}$ open nbhd of $i(N_d)$ by Thm 4.4.16, $\tilde{U}=\mu^{-1}(U)$, set $D=\mathbb{O}_{i(0)}\cap U$ small nbhd of point $i(0)$.

Prop 4.4.26: There is isom $\phi:\tilde{U}\simeq D\times M_d$ s.t. $i:m\mapsto (i(0),m)$ and $i:n\mapsto (i(0),n)$ make the upper diagram (4.4.22) isom. to

$\psi$ decomp. of the isom. in 4.4.16 and $N_d\to i(N_d)$.

证明是 direct followed by 4.4.16 的. 我们的最后一步是考虑 $Z_d=M_d\times_{N_d}M_d$. 由于 4.4.22 的 square, 有 natural cartesian square (4.4.27):

Cor 4.4.28: The diagram 4.4.27 is isom by the isom of Prop 4.4.26 to the diag.

好像前面没有介绍什么事 $D_\Delta$, 不过也许你可以直接看出来() $D$ 嵌入 $D\times D$ 的对角线.

Cor 4.4.29: The inverse image in $M_{d}\times M_d$ of an irred. component of the var. $Z_{d+n}$ is either empty or is an irred components of the var. $Z$.

设 $\Lambda’$ irr. 如果其与 $\tilde{U}\times \tilde{U}$ 不交, 其逆像为 $\emptyset$. 否则, $\Lambda’_U=\Lambda’\cap (\tilde{U}\times \tilde{U})$, $\Lambda_U^\dagger$ irr. component of $Z_{d+n}\cap(\tilde{U}\times \tilde{U})$. 根据 4.4.28, $\Lambda_U^\dagger\simeq D_\Delta\times \Lambda$, 因此 $\Lambda$ 且 $i^{-1}(\Lambda’)=\Lambda$.

现在, 回到 Borel-Moore hom. 的时候, recall $H(Y)$ subspace generated by irr. components. 由于 4.4.23 给出了

他诱导了 natural isom $i^\ast:H(\mathcal{F}_{i(x)})\overset{\sim}{\to }H(\mathcal{F}_{x}).$

然后, square 4.4.27 给出了限制到 support 诱导的 morph.

而根据 4.4.28 我们给出了 $H(Z_{d+n})$ 到 $H(Z_d)$ 的映射. 于是, 我们可以 state the main result: Stabilization Theorem 了:

Theorem 4.4.30: (1) The morph. $i^\ast:H(Z_{d+n})\to H(Z_d)$ is an alg. homo. (w.r.t. the convolution product).

(2) For any $x\in N_d$ the following diag, whose vertical maps are given by the convolution action, commutes

可以看出来, (2) 实际上就是说, 将 $H(\mathcal{F}_x)$ 看做 $H(Z)$-mod, 他是 stable under $i$ 的.

这个的证明其实就是相似的. 对于 (2), 他 factor through

而第一个映射是 restriction to an open subset, 根据 convolution 的性质是交换的. 而第二个映射则是通过 embedding $Z_d\hookrightarrow Z_{d+n}\cap (\tilde{U}\times \tilde{U})$, 而其 isom to $Z_d\hookrightarrow D_\Delta\times Z_d,z\mapsto (i(0),z)$, 当然也 commutes with convolution by Kunneth formula.

好! 我们的主定理就施工成功了. 接下来该讲 pro-finite completion of $U(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C}))$.

可以再水一次().

这里连网太慢了kk

@图床tv 新图 急急急