考虑所有 $I$ finite codim two-sided ideal of $U(\mathfrak{sl}_n)$, 其给出了 $U(\mathfrak{sl}_n)$ 上的拓扑. 而由于 $\forall x\in U(\mathfrak{sl}_n)$, 我们可以给出有限维表示 $V$ 使得 $x$ 在上面作用是非平凡的, 这个拓扑是 separating 的. 于是我们考虑
\[\hat{U}:=\varprojlim U(\mathfrak{sl}_n)/I,\]我们给出了嵌入 $U(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C}))\hookrightarrow \hat{U}$. 与此同时, 对任意 $U(\mathfrak{sl}_n)$ 的有限维表示, 其自然地给出了 $\hat{U}$ 的表示.
这样就把有限维的 $\mathfrak{sl}_n$ 表示转化到了 $\hat{U}$ 上. 事实上, 我们可以几何地看 $\hat{U}$.
对于 $\mathbf{SL}_n$ 的 module $M$, 我们当然可以分解出
\[M=\oplus_{\chi\in Z(\mathbf{SL}_n)^\vee} M_\chi, Z(\mathbf{SL}_n)=\{\xi\cdot \operatorname{Id},\xi^n=1\}.\]我们可以自然地 identify $Z(\mathbf{SL}_n)^\vee$ with $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, 那么
\[M=\oplus_{d\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}} M_d.\]于是对任意 finite codim 的 $I$ 我们得到了
\[U(\mathfrak{sl}_n)/I=\oplus_d U_d,\]而这个是 compatible with 逆向极限的结构的, 有
\[\hat{U}=\varprojlim U(\mathfrak{sl}_n)/I=\oplus_r U_r.\]$U_r$ 可以被 characterized by 所有 acts non-trivially on 某个 central character 为 $\chi_r$ 的 f.d. mod, 且 trivially on 所有 central character 为 $\chi_s,s\neq r$ 的 f.d. mod. 回忆 4.4.30(a), 我们有
\[H(Z_r)\overset{i^\ast}{\twoheadleftarrow}H(Z_{r+n})\overset{i^\ast}{\twoheadleftarrow}H(Z_{r+2n})\overset{i^\ast}{\twoheadleftarrow}\cdots.\]这样我们也可以考虑其 proj. lim. 由于, 根据 4.1.12, 我们有 $\phi_d:U(\mathfrak{sl}_n)\twoheadrightarrow H(Z_{d})$, 且 $\phi_d=i^*\circ \phi_{d+n}$. 我们实际上诱导了 well-def. 的 homo.
\[j:U(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C}))\to \varprojlim H(Z_{r+kn}), r=1,2,\cdots,n.\]而更精确的刻画是:
Proposition 4.4.36: For each $r=1,2,\cdots,n$, there is a natural (& continuous) isom. of complete topological algs
\[U_r\simeq \varprojlim H(Z_{r+k\cdot n}).\]s.t. $j:U(\mathfrak{sl}_n(\mathbb{C}))\hookrightarrow \hat{U} \twoheadrightarrow U_r\simeq \varprojlim H(Z_{r+k\cdot n})$
Proof: fix $r$, 根据 diagram
我们给出了 $H(\mathcal{F}_x)$ 上的 ${\varprojlim H(Z_{r+k\cdot n})}$-mod 结构.
在写 4.2 的时候我们提到过, 由于 所有 highest weight 为 $m_1,\cdots,m_n$ 使得 $\sum m_i=d$ 的 $\mathfrak{sl}_n$ 表示都在 $(\mathbb{C}^n)^{\otimes d}$ 中出现过. 因此, 取 $I_d=\operatorname{Ann}((\mathbb{C}^n)^{\otimes d})\subset U(\mathfrak{sl}_n)$, 我们有
\[U(\mathfrak{sl}_n)/I_d\simeq H(Z).\]那么
\[\varprojlim H(Z_{r+k\cdot n})\simeq \varprojlim U(\mathfrak{sl}_n)/I(r+kn).\]显然, $\xi\cdot Id$ 在 $(\mathbb{C}^n)^{\otimes d}$ acts by multiplication by $\xi$ on each tensor components, 也就是说, multiplication by
\[\xi^{r+k\cdot n}=\chi_r(\xi\cdot \operatorname{Id}).\]最后, 由于任意 simple f.d. $\mathbf{SL}_n$-mod with central char. $\chi_r$ 都在 $(\mathbb{C}^n)^{\otimes r+kn}$ 中出现, $I(r+kn)$ 构成了 $0$ 附近的拓扑基, 得证.
不要温柔地走进那个两页
fix $r=1,\cdots,n$, take $\mathbb{C}^{r+\infty}\supset \Gamma^0\supset \Gamma^1\supset \cdots$ with $\Gamma^k=\prod_{i=k+1}^\infty \mathbb{C}^n$.
我们对于 $\mathbb{C}^n$, 给出其上的标准 coord. $n$-step flag $\mathbb{F}(\Gamma^k)=\prod_{i=k+1}^\infty\mathbb{F}$, $\mathbb{F}=(0\subset \mathbb{C}\subset \mathbb{C}^2\subset \cdots\subset \mathbb{C}^n)$. 于是我们可以定义 flag var.
\[\mathcal{F}_{r+\infty}=\{F=(0=F_0\subset F_1\subset\cdots\subset F_n=\mathbb{C}^{r+\infty})|\exists k=k(F): F\cap \Gamma^k=\mathbb{F}(\Gamma^k).\}\]以及 “Springer’s resolution”:
\[M_{r+\infty}=\{(x,F)\in N_{r+\infty}\times\mathcal{F}_{r+\infty}|x(F_i)\subset F_{i-1},i=1,2,\cdots,n\}.\]那么, $M_{r+\infty}$ 就是 $\mathcal{F}_{r+\infty}$ 的 cotangent bundle. 注意, 这和一般的 Springer resol. 不一样: 他并没有一个 zero-section, $0\notin N_{r+\infty}$.
我们有 proj. $\mu:M_{r+\infty}\to N_{r+\infty}$. 根据 4.4.23, $\mu$ 的 fibres 总是有限维的 proj. var. 最后, 我们考虑 $Z_{r+\infty}=M_{r+\infty}\times_{N_{r+\infty}}M_{r+\infty}$, $U_r$ 可以看做 $Z_{r+\infty}$ 的 irr. components 之 fundamental classes 的无限和.
那么第四章就结束了. 这一章就是比较具体的构造, 在 4.1 我们考虑 $M$ 是"比较一般的", 也就是说, codim 取值在某一个分划里的 flag, $Z=M\times_N M$. 利用分划上的操作, 给出了 $U(\mathfrak{sl}_n)$ 到 $H(Z)$ 的满射. 而 4.2 则是开始具体利用之构造 $U(\mathfrak{sl}_n)$ 的表示: 让 $H(Z)$ 作用在 $H(\mathcal{F}_x)$ 上, 这里面比较重要的结论就是最标准的 (利用 $\ker,\operatorname{im}$ 给出最 “极限” 的构造得到的 flag) $F^{min},F^{max}$, 在作用下恰好对应最低与最高权向量.
而, 我又要引用一遍这个"熟知的表示论结论", 所有 highest weight 为 $m_1,\cdots,m_n$ 使得 $\sum m_i=d$ 的 $\mathfrak{sl}_n$ 表示都在 $(\mathbb{C}^n)^{\otimes d}$ 中出现过. 在给出
\[U(\mathfrak{sl}_n)/I_d\simeq H(Z), I_d=\operatorname{Ann}((\mathbb{C}^n)^{\otimes d})\]的同时, 也启发我们将这些空间"并起来"–实际上是取逆向极限, 得到所有有限维 $U(\mathfrak{sl}_n)$ 表示. 这也就是最后一章 Stabilization 的内容. 最终我们能得到 4.4.36, 也就是上面结果的推广.
至少到现在为止, 这些东西都是比较 set-theoretical 的. 他的几何部分来自于 variety 的 Borel-Moore homology, 更准确地说, 来自于其上的 convolution product 结构.
而下一章就要涉及升级的数学了: K-理论, Koszul complex, Chern char, localization 和函子性, 这可能就是 real AG.
下班!