好大的雨

3.5 的核心就是去用几何的方法分析 $H(Z)$-action. 值得注意的一点是他原文标题并没有使用公式环境里的斜体()

要注意本章大多数(除了两处) arguments 都是几何的, 而后面 (Section 8.9) 我们会给出来 sheaf 的 argument. 我们可以对一般的 convolution algebra $H(Z)$ 做类似的事情.

我们fix $\tilde{\mathcal{N}}\to \mathcal{N}$ the Springer resolution. 其中

• $\tilde{\mathcal{N}}$ smooth $G$ variety, $G$ alg.gp.

• $\mathcal{N}$ (possibly singular) $G$-var. 包含有限多 $G$-轨道.

• $\mu: \tilde{\mathcal{N}}\to \mathcal{N}$ $G$-equiv proper morph s.t. the dimension property of 3.3.24 成立. (所有 irr comp 都拥有相同的维数)

$Z=\tilde{\mathcal{N}}\times_{\mathcal{N}}\tilde{\mathcal{N}}$ Steinberg var. 对 $Y\subset\mathcal{N}$ put $\tilde{Y}=\mu^{-1}(\mathcal{N})$, $Z_Y=\tilde{Y}\times_Y\tilde{Y}$. 考虑 $Z_x=\mathcal{B}_x\times \mathcal{B}_x$, $x\in \mathcal{N}$, 由于

$H_{2d}(Z_x)=H(Z_x)$ 拥有一个 $H(Z)$-bimodule 结构. 实际上, 由于 Kunneth formula,

我们可以给出 $H(\mathcal{B}_x)$ 上的 left $H(Z)$-mod by $Z\circ \mathcal{B}_x= \mathcal{B}_x$ 与 right $H(Z)$-mod by $\mathcal{B}_x\circ Z= \mathcal{B}_x$. 我们有

Lem 3.5.1: 上述 Kunneth formula 实际上得到了 $H(Z)$-bimod 的 isom, by

我们有一个 $G$-action by $\mathcal{B}_x \to \mathcal{B}_{g(x)}$, 他 induces 了 homomorphism

Lem 3.5.2: The left (resp. right) action of $H(Z)$ is compatible with the natural $G$-action i.e. $z\in H(Z), g\in G, c\in H_\ast(\mathcal{B}_x)$ by $z\cdot g(c)=g(z\cdot c)$.

这实际上就是说 $Gz=z$, 而 $H(z)$ 是 over $\mathbb{Q}$ 的, $G$ 连通.

现在考虑 $G(x)$ 是 $x$ 的 centralizer, 我们诱导了 $G(x)$ 在 $H_\ast(\mathcal{B}_x)$ 上的作用. 而取 $G^0(x)$ 是 identity component, 有连通性实际上诱导了 $C(x)=G(x)/G^0(x)$ 在 $H_\ast(\mathcal{B}_x)$ 上的作用. 然后根据 3.5.2, 有

Lem 3.5.3: There’s natural $C(x)$-action on $H(\mathcal{B}_x)$ which commutes with the left (resp. right) $H(Z)$-action.

于是, 记 $\hat{C}(x)$ 为所有 $C(x)$ 的 irr.repn, 有

注意他这里右侧, 是 “forced to use $\mathbb{C}$-coeff.” 的, $H(\mathcal{B}_x)_\chi$ 表示 $\chi$-isotypical components, 也就是 $\simeq \chi$ 的那部分子表示. 实际上他这里有一个小 remark, 就是说一般这样的子表示都是 over $\mathbb{Q}$ 的, 除了 type $E_8$.

对于一个 $Q$-alg $A$, left $A$-mod, 我们可以给出 $\check{V}=\operatorname{Hom}_\mathbb{Q}(V,\mathbb{Q})$ as a vector space, 给出一个 right $A$-mod 的结构:

相信你应该知道这是什么意思()

然后,

Claim 3.5.5: There is an isom. of right $H(Z)$-mods

Claim 3.5.6: $H(Z)$ is a s.s. alg.

这个通过 3.4.1 显然(这是第一处).

然后,

Theorem 3.5.7: Assume Claim 3.5.5 and 3.5.6 hold, then:

(a) For any $x\in\mathcal{N},\chi\in C(x)^{\vee}$, $H_d(\mathcal{B}_x)_\chi$ is a simple $H(Z)$-mod, with $d=\dim_\mathbb{R} \mathcal{B}_x$;

(b) The modules $H_d(\mathcal{B}_x)_\chi$ and $H_d(\mathcal{B}_y)_\psi$ are isom iff $(x,\chi)$ and $(y,\psi)$ is $G$-conj.

(c) The set ${H_d(\mathcal{B}_x)_\chi}$ is a complete collection of isom. classes of simple complex $H(Z)$-mods.

这是本章的 main theorem 了, 我们接下来要做的就是介绍这个 thm 的证明.

取 $\mathbb{O}$ 包含 $x$ 的 conj. class. $U\ni x$ 一个 open nbhd, $\tilde{U}=\mu^{-1}(U)$ “tubular” nbhd of $\mathcal{B}_x$.

Lem 3.5.8: $\tilde{U}$ is smooth.

取 $S\subset \mathcal{N}$ 一个 $x$ 处 through $\mathbb{O}$ 的 local transversal slice, 记 $\tilde{S}=\mu^{-1}(S)$, 有, by 3.2.21, $\tilde{U}=\tilde{S}\times (\mathbb{O}\cap U)$.

Cor 3.5.9: $\tilde{S}$ is smooth, $\mathcal{B}_x$ is a homotopy retract of $\tilde{S}$.

剩下的明天再写()

计算一下 $\dim \tilde{S}:$

于是, 由于 $\tilde{S}$ smooth, $\mathcal{B}_x$ compact, 我们有一个well-def. intersection pairing:

Theorem 3.5.12: The pairing is nondeg.

这个证明在 8.9 中给出. 一旦我们说明了这个 pairing 在 $H(Z)$, 也就是某种意义上, $C(x)$ 上的 compatible, $\forall c,c’\in H(\mathcal{B}_x),a\in H(Z)$,

实际上这就证明了

考虑 $K(x)$ 为 $G(x)$ 的一个极大的紧子群, 我们可以选取出 $\gg$ 的一个 $K(x)$-inv 的 Hermitian form. 对于 $T_x\mathbb{O}$, 我们可以取他的 complement space $s$. 于是, $s$ 是 $K(x)$ 作用下不变的.

现在考虑 $U$ 是一个, 足够小的, up to radius 的 nbhd, 于是 $U$ 是 $K(x)$ 作用下不变的. 从而 $S=s\cap U$ 也是 $K(x)$ 作用下不变的, 从而 $\tilde{S}$ 也是. 那么, 由于 (拓扑下的结论)

我们诱导了 $C(x)$ 在 $H_\ast(\tilde{S})$ 上的作用, 从而这个 $\cap$ 作为由 $H_\ast(\tilde{S})$ 给出的 pairing, 当然是 $C(x)$ 作用不变的.

接下来我们就, 通过一些(简单的)几何研究, 给出 Theorem 3.5.7 的证明.

还记得 3.2.25 左右以至于 3.3.28 吗? 我们有有限多的划分 $\mathcal{N}=\cap \mathbb{O}$.

想象一下 $SL$ 的 case, 这些 $\mathbb{O}$ 当然 不一定开又不一定闭. 但是我们可以比较自然地去考虑 partial order

然后, 我们就可以考虑

由于 $Z\circ Z_{\leq \mathbb{O}}=Z_{\leq \mathbb{O}}=Z_{\leq \mathbb{O}}\circ Z$, $Z\circ Z_{< \mathbb{O}}=Z_{< \mathbb{O}}=Z_{< \mathbb{O}}\circ Z$

write $H(\circ )= H_m(\circ)$ ($m=\dim_{\mathbb{R}}Z$), 有

Cor 3.5.13: $H(Z_{<\mathbb{O}})$ and $H(Z_{\leq\mathbb{O}})$ are $2$-sided ideals in $H(Z)$.

$Z_{<\mathbb{O}}\hookrightarrow Z_{\leq\mathbb{O}}$ 诱导了 $H(Z_{<\mathbb{O}})\hookrightarrow H(Z_{\leq\mathbb{O}})$ (因为他们都是 of $m$-dim 的), 于是我们诱导了

$H_\mathbb{O}=H(Z_{\leq\mathbb{O}})/H(Z_{<\mathbb{O}})$, 依旧是一个 $H(Z)$-bimod. 回忆

$H(Z_{\leq\mathbb{O}})/H(Z_{<\mathbb{O}})$ 拥有 $\mathcal{B}_x$ 的components 在 $C(x)$ 作用下的轨道. 于是, 通过传说中 Borel-Morre 的 base locality property, 我们诱导了 $H(Z)$ alg. homo.

其中 $U\subset \mathcal{N}$ 是包含 $x$ 的一个 small nbhd. 由于 $(\bar{\mathbb{O}}-\mathbb{O})\cap U=0$, 我们有 $H(Z_{< \mathbb{O}})\mapsto 0$. 于是诱导了

然后, 通过 decomp. $Z_U=Z_S\times \mathbb{O}_{diag}$, 得到

再通过 retract 的性质, 得到

全部复合起来, 我们得到

然后, 通过

以及 $Z_x=\mathcal{B}_x\times \mathcal{B}_x$, 我们最终得到 isom

但是! 由于 $H(Z)$ 是 s.s. 的, 我们有自然的

而根据前面的论断

有点初具人形了(), tensoring by $\mathbb{C}$ 然后根据

有

而, $\operatorname{Hom}_{C(x)}(\chi,\psi)=\delta\mathbb{C}_{\chi\psi}$, 我们得到

但本身, 对于 ${E_\alpha}$ complete collection of simple complex left $H(Z)$-mod, 我们就有(可以根据 $H(Z)$ 同构于群代数, 也可以直接利用它s.s. 的性质)

由于, 根据 3.5.3, $H(\mathcal{B}x)\chi$ 依旧是一个 $H(Z)$-mod, 于是,

我们最终得到,

然后 compared with

而且是作为 $H(Z)$-bimod 的 isom, 那么我们有

于是, 对每一个 $\alpha$, 都存在唯一的 $(x,\chi)$, $E_\alpha\simeq H(\mathcal{B}_x)_\chi$. It ends.

最后一个 remark 3.5.24 是关于, 实际上 Thm 3.5.12 可以得到 3.5.7 的一个 alternative proof. 我们得到 $H(\mathcal{B}_x)$ 是一个 irr $H(Z_x)$-mod, 而 $H(Z_x)$ 是一个 simple alg. 这是因为对于

其中 $\ast $ 是 convolution, 于是 $H(Z_x)\ast {c’’}$ spans $H(\mathcal{B}_x)$.

由于 $H(Z_x)$ 是 $H(Z_S)$ 的 subalg, $H(\mathcal{B}_x)$ simple $H(Z_S)$-mod, 根据 alg. argument, $C(x)$ isotropic component of $H(\mathcal{B}_x)$ 是一个 simple $H(Z_S)^{C(x)}$-mod. 而在说明

的过程中, 我们也说明了 $H(Z_S)^{C(x)}$ 恰为 $H(Z)\to H(Z_S)$ 的 image. 于是我们说明了 $C(x)$ isotropic 的 $H(\mathcal{B}_x)$ simple components 恰为 simple 的 $H(Z)$-mod.

有点意思, 但其实你会发现一些奇怪的问题, 比方说对 $SL$, $\mathbb{O}$ 的个数应该跟 $S_n$ 的共轭类个数相等, 所以应该要希望 $C(x)=1$? 而这些落到 Weyl gp 具体的讨论就要交给 3.6 了.

下班!

好大的雨kk

代数tv: $\mathcal{B}x \to \mathcal{B}{g(x)}$ 为什么在适用 markdown 与 Katex 的环境中无法正常解析? 这句话是否会引发语法冲突? 应当如何解决

deepseek: 在 Markdown 与 KaTeX 混合使用的环境中，表达式 $\mathcal{B}_x \to \mathcal{B}_{g(x)}$ 无法正常解析的主要原因如下：

1. 语法冲突分析

• Markdown 的下划线规则：
  Markdown 会将文本中的 _（下划线）解析为斜体或强调符号。例如，a_b_c 会被渲染为 a_b_c，但某些解析器可能因嵌套下划线导致意外行为。

• KaTeX 的下标规则：
  KaTeX 使用 _ 表示下标（如 x_1）。当表达式中的 _ 被 Markdown 优先解析时，KaTeX 的语法会被破坏。

2. 具体冲突示例

表达式 $\mathcal{B}_x \to \mathcal{B}_{g(x)}$ 中的 _x 和 _{g(x)} 可能被 Markdown 解析为以下结构：

1

$\mathcal{B}_x → \mathcal{B}_{g(x)}$

• Markdown 可能尝试将 _x 和 _{g(x)} 解析为斜体文本，导致 KaTeX 接收到不完整或损坏的语法（如 \mathcal{B} 与 x 分离）。

3. 解决方案

方法 1：转义下划线

在 KaTeX 表达式中，使用 \_ 代替 _ 以避免 Markdown 的解析干扰：

1

$\mathcal{B}\_x \to \mathcal{B}\_{g(x)}$

KaTeX 会将 \_ 解析为普通下划线，从而正确渲染下标。

方法 2：使用代码块包裹公式

通过代码块语法（反引号）临时禁用 Markdown 解析：

1

`$\mathcal{B}_x \to \mathcal{B}_{g(x)}$`

但此方法会以等宽字体显示公式，失去 KaTeX 的渲染效果，仅适合展示原始代码。

方法 3：配置 Markdown 解析器

某些平台（如 Jupyter Notebook、Obsidian）允许通过配置禁用 Markdown 对数学公式内的特殊符号解析。例如：

• 使用 \\_ 代替 _（双重转义）。
• 确保公式被包裹在 $$...$$ 或 \\(...\\) 中。

修复后的正确写法

1

$\mathcal{B}\_x \to \mathcal{B}\_{g(x)}$

或根据平台要求使用：

1

$$\mathcal{B}_x \to \mathcal{B}_{g(x)}$$

总结

• 根本原因：Markdown 优先解析 _ 导致 KaTeX 语法断裂。
• 解决关键：通过转义下划线（\_）或调整解析器配置，确保 KaTeX 能完整接收语法。
• 验证方法：检查渲染后的页面中下划线是否被保留为下标符号。

deepseek 是我爹