CG饲养日记-其六 P168-175
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CG饲养日记-其六 P168-175

山色有无中?

好大的雨

3.5 的核心就是去用几何的方法分析 -action. 值得注意的一点是他原文标题并没有使用公式环境里的斜体()

要注意本章大多数(除了两处) arguments 都是几何的, 而后面 (Section 8.9) 我们会给出来 sheaf 的 argument. 我们可以对一般的 convolution algebra 做类似的事情.

我们fix the Springer resolution. 其中

  • smooth variety, alg.gp.

  • (possibly singular) -var. 包含有限多 -轨道.

  • -equiv proper morph s.t. the dimension property of 3.3.24 成立. (所有 irr comp 都拥有相同的维数)

Steinberg var. 对 put , . 考虑 , , 由于

拥有一个 -bimodule 结构. 实际上, 由于 Kunneth formula,

我们可以给出 上的 left -mod by 与 right -mod by . 我们有

Lem 3.5.1: 上述 Kunneth formula 实际上得到了 -bimod 的 isom, by

我们有一个 -action by , 他 induces 了 homomorphism

Lem 3.5.2: The left (resp. right) action of is compatible with the natural -action i.e. by .

这实际上就是说 , 而 是 over 的, 连通.

现在考虑 是 的 centralizer, 我们诱导了 在 上的作用. 而取 是 identity component, 有连通性实际上诱导了 在 上的作用. 然后根据 3.5.2, 有

Lem 3.5.3: There's natural -action on which commutes with the left (resp. right) -action.

于是, 记 为所有 的 irr.repn, 有

注意他这里右侧, 是 "forced to use -coeff." 的, 表示 -isotypical components, 也就是 的那部分子表示. 实际上他这里有一个小 remark, 就是说一般这样的子表示都是 over 的, 除了 type .

对于一个 -alg , left -mod, 我们可以给出 as a vector space, 给出一个 right -mod 的结构:

相信你应该知道这是什么意思()

然后,

Claim 3.5.5: There is an isom. of right -mods

Claim 3.5.6: is a s.s. alg.

这个通过 3.4.1 显然(这是第一处).

然后,

Theorem 3.5.7: Assume Claim 3.5.5 and 3.5.6 hold, then:

(a) For any , is a simple -mod, with ;

(b) The modules and are isom iff and is -conj.

(c) The set is a complete collection of isom. classes of simple complex -mods.

这是本章的 main theorem 了, 我们接下来要做的就是介绍这个 thm 的证明.

取 包含 的 conj. class. 一个 open nbhd, "tubular" nbhd of .

Lem 3.5.8: is smooth.

取 一个 处 through 的 local transversal slice, 记 , 有, by 3.2.21, .

Cor 3.5.9: is smooth, is a homotopy retract of .

剩下的明天再写()

计算一下

于是, 由于 smooth, compact, 我们有一个well-def. intersection pairing:

Theorem 3.5.12: The pairing is nondeg.

这个证明在 8.9 中给出. 一旦我们说明了这个 pairing 在 , 也就是某种意义上, 上的 compatible, ,

实际上这就证明了

考虑 为 的一个极大的紧子群, 我们可以选取出 的一个 -inv 的 Hermitian form. 对于 , 我们可以取他的 complement space . 于是, 是 作用下不变的.

现在考虑 是一个, 足够小的, up to radius 的 nbhd, 于是 是 作用下不变的. 从而 也是 作用下不变的, 从而 也是. 那么, 由于 (拓扑下的结论)

我们诱导了 在 上的作用, 从而这个 作为由 给出的 pairing, 当然是 作用不变的.

接下来我们就, 通过一些(简单的)几何研究, 给出 Theorem 3.5.7 的证明.

还记得 3.2.25 左右以至于 3.3.28 吗? 我们有有限多的划分 .

想象一下 的 case, 这些 当然 不一定开又不一定闭. 但是我们可以比较自然地去考虑 partial order

然后, 我们就可以考虑

由于 ,

write ( ), 有

Cor 3.5.13: and are -sided ideals in .

诱导了 (因为他们都是 of -dim 的), 于是我们诱导了

, 依旧是一个 -bimod. 回忆

拥有 的components 在 作用下的轨道. 于是, 通过传说中 Borel-Morre 的 base locality property, 我们诱导了 alg. homo.

其中 是包含 的一个 small nbhd. 由于 , 我们有 . 于是诱导了

然后, 通过 decomp. , 得到

再通过 retract 的性质, 得到

全部复合起来, 我们得到

然后, 通过

以及 , 我们最终得到 isom

但是! 由于 是 s.s. 的, 我们有自然的

而根据前面的论断

有点初具人形了(), tensoring by 然后根据

有

而, , 我们得到

但本身, 对于 complete collection of simple complex left -mod, 我们就有(可以根据 同构于群代数, 也可以直接利用它s.s. 的性质)

由于, 根据 3.5.3, 依旧是一个 -mod, 于是,

我们最终得到,

然后 compared with

而且是作为 -bimod 的 isom, 那么我们有

于是, 对每一个 , 都存在唯一的 , . It ends.

最后一个 remark 3.5.24 是关于, 实际上 Thm 3.5.12 可以得到 3.5.7 的一个 alternative proof. 我们得到 是一个 irr -mod, 而 是一个 simple alg. 这是因为对于

其中 $\ast $ 是 convolution, 于是 spans .

由于 是 的 subalg, simple -mod, 根据 alg. argument, isotropic component of 是一个 simple -mod. 而在说明

的过程中, 我们也说明了 恰为 的 image. 于是我们说明了 isotropic 的 simple components 恰为 simple 的 -mod.

有点意思, 但其实你会发现一些奇怪的问题, 比方说对 , 的个数应该跟 的共轭类个数相等, 所以应该要希望 ? 而这些落到 Weyl gp 具体的讨论就要交给 3.6 了.

下班!

好大的雨kk

代数tv: 为什么在适用 markdown 与 Katex 的环境中无法正常解析? 这句话是否会引发语法冲突? 应当如何解决

deepseek: 在 Markdown 与 KaTeX 混合使用的环境中，表达式 $\mathcal{B}_x \to \mathcal{B}_{g(x)}$ 无法正常解析的主要原因如下：

1. 语法冲突分析

  • Markdown 的下划线规则：
    Markdown 会将文本中的 _（下划线）解析为斜体或强调符号。例如，a_b_c 会被渲染为 a_b_c，但某些解析器可能因嵌套下划线导致意外行为。

  • KaTeX 的下标规则：
    KaTeX 使用 _ 表示下标（如 x_1）。当表达式中的 _ 被 Markdown 优先解析时，KaTeX 的语法会被破坏。

2. 具体冲突示例

表达式 $\mathcal{B}_x \to \mathcal{B}_{g(x)}$ 中的 _x 和 _{g(x)} 可能被 Markdown 解析为以下结构：

$\mathcal{B}_x → \mathcal{B}_{g(x)}$
  • Markdown 可能尝试将 _x 和 _{g(x)} 解析为斜体文本，导致 KaTeX 接收到不完整或损坏的语法（如 \mathcal{B} 与 x 分离）。

3. 解决方案

方法 1：转义下划线

在 KaTeX 表达式中，使用 \_ 代替 _ 以避免 Markdown 的解析干扰：

$\mathcal{B}\_x \to \mathcal{B}\_{g(x)}$

KaTeX 会将 \_ 解析为普通下划线，从而正确渲染下标。

方法 2：使用代码块包裹公式

通过代码块语法（反引号）临时禁用 Markdown 解析：

`$\mathcal{B}_x \to \mathcal{B}_{g(x)}$`

但此方法会以等宽字体显示公式，失去 KaTeX 的渲染效果，仅适合展示原始代码。

方法 3：配置 Markdown 解析器

某些平台（如 Jupyter Notebook、Obsidian）允许通过配置禁用 Markdown 对数学公式内的特殊符号解析。例如：

  • 使用 \\_ 代替 _（双重转义）。
  • 确保公式被包裹在 $$...$$ 或 \\(...\\) 中。

修复后的正确写法

$\mathcal{B}\_x \to \mathcal{B}\_{g(x)}$

或根据平台要求使用：

$$\mathcal{B}_x \to \mathcal{B}_{g(x)}$$

总结

  • 根本原因：Markdown 优先解析 _ 导致 KaTeX 语法断裂。
  • 解决关键：通过转义下划线（\_）或调整解析器配置，确保 KaTeX 能完整接收语法。
  • 验证方法：检查渲染后的页面中下划线是否被保留为下标符号。

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