这一章前前后后, 牵扯的有点多()

不要在这上面纠结掉太多时间, 能动一动已是仁慈()

3.4 讲的是关于 Weyl gp. 的一个主题. 想象一下包含 $x$ 的所有 Borel subalg $\mathcal{B}_x=\mu^{-1}(x)$, 我们希望研究 $\mathbb{W}$ 在 $H_{{\ast}}(\mathcal{B}_x)$ 上的作用.

$x$ 是 sr 的 case 当然是容易的, 他只是有限元素的置换而已. 那我们对于 singular 一点的元素呢?

对于 $w\in \mathbb{W}$, 考虑 $\operatorname{Graph}(w)\subset \tilde{\mathfrak{g}}^{sr}\times\tilde{\mathfrak{g}}^{sr}$ 为那些 $(n,\mathfrak{b},wn,w\mathfrak{b})$. 有, $\operatorname{Graph}(w)\subset \tilde{\mathfrak{g}}^{sr}\times_{\mathfrak{g}^{sr}}\tilde{\mathfrak{g}}^{sr}$.

现在, 考虑 $\Gamma_w$ 是 $\operatorname{Graph}(w)$ 在 $\tilde{\mathfrak{g}}\times_{\mathfrak{g}}\tilde{\mathfrak{g}}$ 中的 closure.

我们有一个神奇的 convolution, 他是我们要考虑的这个 Borel-Moore Homology 里面的. 这个细节也许暂时不太重要(?) 总之由于 $\Gamma_w\circ \mathcal{B}_x=\mathcal{B}_x$, 我们得到了一个 convolution 诱导的 operator

CG上说这么给出 $w_{{\ast}}$ 的定义有一点坏处, 就是不好去验证 $y_{{\ast}}\circ w_{{\ast}}=(yw)_{{\ast}}$.

他在这里给出了另一个 approach. 具体来说就是取 $Z=\tilde{\mathcal{N}}\times_{\mathcal{N}}\tilde{\mathcal{N}}$ Steinberg var. 根据 Cor.3.3.5,

于是 $Z$ 的 irr components 都拥有 $\dim m=\dim_{\mathbb{R}}\tilde{\mathcal{N}}$. 记 $H(Z)=H_m(Z,\mathbb{Q})$, 他是一个 $# W$-dim $\mathbb{Q}$-v.s, 于是也是一个 subalg of $H_{{\ast}}(Z,\mathbb{Q})$.

现在, 取 $\mathbb{Q}[\mathbb{W}]$ 为 $\mathbb{W}$ 对应的群代数, 我们有

Theorem 3.4.1: There is a canonical alg. isom.

距离真的做出来这个thm, 我们还有一段路要走() 这个定理其实是 Steinberg theory 的一部分, 然后也许这个通过 Borel-Moore 的具体讨论会比较繁琐. 而且, 粮食说在后面会给出一个 sheaf 层面的证明. 因此在这里我们先把他 treat as blackbox 一下().

大致描绘一下 Borel-Moore homology 的 picture:

我们现在只考虑 “reasonable” 的空间, 也就是说, 局部紧且拥有有限 CW-复形的homotopy type. Furthermore, 要求他可以嵌入某个可数多 infinity 的 $C^\infty$ 的 manifold $M$ 里, 并要求存在开的子集 $U\supset X$ 使得 $X$ 是 $U$ 的 retract. Similarly, 对于 $M$ 的 closed “subset” $X$ 我们也要求他是某个 $U$ 的 retract. 在这个条件下我们可以找到更小的闭的 $V\subset U$ 使得 $X$ 是 $V$ 的 proper homotopy retract. 注意这里的 proper 指紧集的原像是紧的.

于是, 一个集合 $X$ 的 Borel-Moore homology 可以定义为 $\hat{X} =X\cap{\infty}$ 一点紧化,

注意 (通过拓扑的办法可以得到) 他有以下三个等价形式:

1. 对 $\bar{X}$ 是 $X$ 任意一个紧化, $(\bar{X},\bar{X}\backslash X)$ CW-pair,

2. $C_{{\ast}}^{BM}(X)$ 是 chain cpx of infinite singular chains $\sum_{i=0}^\infty a_i\sigma_i$ 且对于任意 compact set, 只有 finite $a_i$ s.t. $D\cap supp\sigma_i\neq \emptyset$. 于是

3. 取 $M$ smooth, ori, $\dim M=m$, $X$ 是一个 closed subset of $M$ with 存在 $U\subset M$ closed, $X$ 是 $U$ 的一个proper deform. retract. 那么 $H^{BM}_i(X)=H^{m-i}(M,M\backslash X)$.

注意, 如果我们取 $X=M$ smooth, not necessarily compact var., 有

然后, 考虑 $D_\ast$ 是 supported on $X$ 上的 distribution 构成的 complex, 则

然后是push forward, 注意 $f:X\to Y$ proper 诱导了连续的 $\bar{f}:\bar{X}\to \bar{Y}$, 于是诱导了 push forward

而对于 $F$ 是 $X$ 的 closed subset, set $U=X\backslash F$, 我们可以拉出长正合列

Borel-Moore homology 的关键在于 fundamental class 的存在性. 对于 $X$ smooth ori. of $\dim m$, 我们一定有一个 well-defined 的

不难看出这对, 比方说 $\mathbb{R}^n$ 的一般同调是不成立的. 然后, 由于对一般的 smooth complex mfd,

$\dim(X\backslash X^{reg})\leq m$, 有

而, 我们有

Proposition 2.6.14: $X$ complex var. of cpx dim $n$, $X_1,\cdots, X_n$ $n$-dim’l irr components, then the fundamental classes $[X_1],\cdots,[X_n]$ form a basis for the vector space $H_{top}(X)=H_{2n}(X)$.

还有啥事呢? 通过 3. 中 庞加莱对偶那个定义, 我们可以给出一个 intersection pairing 的结构.

对于 $Z,\bar{Z}$ 作为 $M$ 的子集.

以及, 可以得到这样的 intersection pairing

我们有

Proposition 2.6.18: (Poincare duality) 考虑 $M$ ori. connected smooth var. Then for any $j$, the map

is nondegenerate.

先说这么多() 后面要用了再写.

开 3.5!

您好, 请问

$H_{{\ast}}(D_\ast(X),d)\simeq H^{BM}_{{{\ast}}}(X).$

$H_{{\ast}}(D_\ast(X),d)\simeq H^{BM}_{{{\ast}}}(X).$ 

为什么过不了他自带的 Katex 的编译, 但是

$$H_{{\ast}}(D_\ast(X),d)\simeq H^{BM}_{{{\ast}}}(X).$$

却可以?

5.13 把上述问题解决了

5.14 修复了一个_斜体_导致的bug