这一章前前后后, 牵扯的有点多()
不要在这上面纠结掉太多时间, 能动一动已是仁慈()
3.4 讲的是关于 Weyl gp. 的一个主题. 想象一下包含 的所有 Borel subalg , 我们希望研究 在 上的作用.
是 sr 的 case 当然是容易的, 他只是有限元素的置换而已. 那我们对于 singular 一点的元素呢?
对于 , 考虑 为那些 . 有, .
现在, 考虑 是 在 中的 closure.
我们有一个神奇的 convolution, 他是我们要考虑的这个 Borel-Moore Homology 里面的. 这个细节也许暂时不太重要(?) 总之由于 , 我们得到了一个 convolution 诱导的 operator
CG上说这么给出 的定义有一点坏处, 就是不好去验证 .
他在这里给出了另一个 approach. 具体来说就是取 Steinberg var. 根据 Cor.3.3.5,
于是 的 irr components 都拥有 . 记 , 他是一个 -dim -v.s, 于是也是一个 subalg of .
现在, 取 为 对应的群代数, 我们有
Theorem 3.4.1: There is a canonical alg. isom.
距离真的做出来这个thm, 我们还有一段路要走() 这个定理其实是 Steinberg theory 的一部分, 然后也许这个通过 Borel-Moore 的具体讨论会比较繁琐. 而且, 粮食说在后面会给出一个 sheaf 层面的证明. 因此在这里我们先把他 treat as blackbox 一下().
大致描绘一下 Borel-Moore homology 的 picture:
我们现在只考虑 "reasonable" 的空间, 也就是说, 局部紧且拥有有限 CW-复形的homotopy type. Furthermore, 要求他可以嵌入某个可数多 infinity 的 的 manifold 里, 并要求存在开的子集 使得 是 的 retract. Similarly, 对于 的 closed "subset" 我们也要求他是某个 的 retract. 在这个条件下我们可以找到更小的闭的 使得 是 的 proper homotopy retract. 注意这里的 proper 指紧集的原像是紧的.
于是, 一个集合 的 Borel-Moore homology 可以定义为 一点紧化,
注意 (通过拓扑的办法可以得到) 他有以下三个等价形式:
- 对 是 任意一个紧化, CW-pair,
- 是 chain cpx of infinite singular chains 且对于任意 compact set, 只有 finite s.t. . 于是
- 取 smooth, ori, , 是一个 closed subset of with 存在 closed, 是 的一个proper deform. retract. 那么 .
注意, 如果我们取 smooth, not necessarily compact var., 有
然后, 考虑 是 supported on 上的 distribution 构成的 complex, 则
然后是push forward, 注意 proper 诱导了连续的 , 于是诱导了 push forward
而对于 是 的 closed subset, set , 我们可以拉出长正合列
Borel-Moore homology 的关键在于 fundamental class 的存在性. 对于 smooth ori. of , 我们一定有一个 well-defined 的
不难看出这对, 比方说 的一般同调是不成立的. 然后, 由于对一般的 smooth complex mfd,
, 有
而, 我们有
Proposition 2.6.14: complex var. of cpx dim , -dim'l irr components, then the fundamental classes form a basis for the vector space .
还有啥事呢? 通过 3. 中 庞加莱对偶那个定义, 我们可以给出一个 intersection pairing 的结构.
对于 作为 的子集.
以及, 可以得到这样的 intersection pairing
我们有
Proposition 2.6.18: (Poincare duality) 考虑 ori. connected smooth var. Then for any , the map
is nondegenerate.
先说这么多() 后面要用了再写.
开 3.5!
您好, 请问
$H_{{\ast}}(D_\ast(X),d)\simeq H^{BM}_{{{\ast}}}(X).$
为什么过不了他自带的 Katex 的编译, 但是
$$H_{{\ast}}(D_\ast(X),d)\simeq H^{BM}_{{{\ast}}}(X).$$
却可以?
5.13 把上述问题解决了
5.14 修复了一个_斜体_导致的bug