这部分应该是21号整理完的, 但整理完就去玩()()()()了
桎化行动ddl, 没办法
接下来是抽象Weyl gp., 感觉这块没什么好说的啊()
要把这个 abstract Weyl gp. 实现成某一个 Coxeter group. 参考 Bour 就行了.
我们要研究的事情就是, 为什么这个我们通常了解的 Weyl gp (也就是这里的abstract w.g.) 和那个 $N(T)/T$ 定义出来的 w.g. 一样.
Lemma 3.1.26: 对任意 $\mathfrak{b},\mathfrak{b}’\in\cal{B}$, 我们有典范同构
\[\mathfrak{b}/[\mathfrak{b},\mathfrak{b}]\simeq \mathfrak{b}'/[\mathfrak{b}',\mathfrak{b}'].\]这个实际上就是通过共轭给出() 于是我们可以 fix 这个抽象 Cartan subalg. 然后, 试着给出他到原先定义的 $\mathfrak{h}$ 的同构.
这个实际上就是
\[\mathfrak{h}\hookrightarrow\mathfrak{b}\twoheadrightarrow \mathfrak{b}/[\mathfrak{b},\mathfrak{b}],\]我们要做的一些工作就是check这给出了根系和 $S={\text{simple roots}}$ 上的同构, 不过这不难()
关键的问题是, 对于不同的 $\mathfrak{b},\mathfrak{b}’$, 这个映射会怎么表现呢? 考察 $\mathfrak{h}\subset \mathfrak{b}\cap\mathfrak{b}’$, 我们存在 $w\in W$, $\mathfrak{b}’=w(\mathfrak{b})$. 关键的结论是, 记 $\mathbb{W}$ 为 $\mathfrak{b}/[\mathfrak{b},\mathfrak{b}]$, $w(\mathfrak{b},\mathfrak{b}’)$ 定义为 $w$ 在 $W\simeq\mathbb{W}$ 下的像, 那么, 根据共轭的办法, 对不同的 $\mathfrak{h}$ 的选取, 咱们给出了同样的 $w(\mathfrak{b},\mathfrak{b}’)$.
Defn 3.1.28: 两个 $\mathfrak{b}_1,\mathfrak{b}_2$ 被称作在 $w$ 的相对位置, 如果 $w(\mathfrak{b}_1,\mathfrak{b}_2)=w$.
然后, 我们有如下定理:
Proposition 3.1.29: 任意两个 pairs $(\mathfrak{b}_i,\mathfrak{b}_i’)$, $i=1,2$, 他们在相同的相对位置, 当且仅当他们在相同的 $G$-对角轨道上. 也就是说, 这个相对位置给出了 bij.
\[\{G\text{-diagonal orbits on }\cal{B}\times\cal{B}\}\simeq \mathbb{W}.\]3.1.31 universal resolution
我们想要复刻 3.1.14 的活()
考虑 $\tilde{\mathfrak{g}}={(x,\mathfrak{b})\in\mathfrak{g}\times\cal{B}|x\in\mathfrak{b}}$, 我们有遮样的diagram
考虑 $G\times \mathfrak{b}$, $B$ 在其上作用通过 $(g,x)\mapsto (b\cdot x\cdot b^{-1})$ 给出. 于是轨道空间 $G\times_{B}\cal{B}\to G/B$ 给出了 $G$-等价的 vector bundle with fiber $\mathfrak{b}$. 于是
Cor 3.1.33: $\pi:\tilde{\mathfrak{g}}\to \cal{B}$ 给出了 $\tilde{\mathfrak{g}}$ 到 $\cal{B}=G/B$ 上的 vector bundle, $G\times_B\mathfrak{b}\to\tilde{\mathfrak{g}}$, $(g,x)\mapsto (gxg^{-1},g^{-1})$ 给出了 $G$-等价的 isom.
Proposition 3.1.34: $\mu$ 是 proper 的.
\[\tilde{\mathfrak{g}}\hookrightarrow \mathfrak{g}\times \cal{B}\to \mathfrak{g}.\]大家代数几何功底都很好啊.
定义 $\cal{B}_x$ 为所有包含了 $x$ 的 Borel subalg. 3.1.35 说的是一些特殊状况, 不难()
然后是 $\nu$, 这里考虑 $\mathfrak{H}$ 为那个 abstract Cartan subalg, 考虑
\[(x,\mathfrak{b})\mapsto x\pmod{[\mathfrak{b},\mathfrak{b}]}\in \mathfrak{b}/[\mathfrak{b},\mathfrak{b}]=\mathfrak{H}.\]Proposition 3.1.36: For each $x\in\mathfrak{g}^{sr}$, there is a canonical free $\mathbb{W}$-action on $\mu^{-1}(x)$ making $\tilde{\mathfrak{g}}^{sr}\to \mathfrak{g}^{sr}$ a principal $\mathbb{W}$-bundle.
这实际上就是 3.1.19 的 generalization.
3.1.37 Chevelley Restriction Thm.
$\mathbb{C}[\mathfrak{g}]$ 是 polynom. functions on $\mathfrak{g}$, $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^{G}$ 是 $G$-inv polys 构成的 subalg. 我们有 restriction map:
\[\mathbb{C}[\mathfrak{g}]\to \mathbb{C}[\mathfrak{h}].\]于是, 也不难check, 他诱导了
\[\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G\to \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W.\]Theorem 3.1.38: For any Cartan subalg $\mathfrak{h}\subset \mathfrak{g}$, the restriction map gives a canonical graded alg. isom.
\[\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G\simeq \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W.\]首先是 inj 部分, 注意 $x\in \mathfrak{g}^{sr}$ conj. to $\mathfrak{h}$ 中的 element, 然后他们在 $\mathfrak{g}$ 里 dense 就行了.
surj 部分有点复杂. 对于 $P\in \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W$, 首先, 通过
\[\mathfrak{h}\hookrightarrow \mathfrak{b}\to\mathfrak{b}/[\mathfrak{b},\mathfrak{b}]=\mathfrak{H},\]给出 $\mathbb{C}[\mathfrak{H}]^{\mathbb{W}}$ 上的映射, 然后通过
\[\nu:\tilde{\mathfrak{g}}\to \mathfrak{H},\]给出 $\tilde{P}$ 在 $\tilde{\mathfrak{g}}$ 上的映射, 并限制在 Zar. open set $\tilde{\mathfrak{g}}^{sr}$ 上. 再次, 利用 Galois covering 给出 $\mathfrak{g}^{sr}$ 上的 rational function, 并利用紧性证明他是poly. 最后就能比较显然地验证他限制确实得到原先的 $P$ 了.
而实际上, 考虑
\[\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G\to \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W\simeq \mathbb{C}[\mathfrak{H}]^{\mathbb{W}},\]这给出了一个典范的同构, 并且是和 $\mathfrak{h}$ 的选取无关的, 于是我们给出了嵌入
\[\mathbb{C}[\mathfrak{H}]^{\mathbb{W}}\to\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G\hookrightarrow\mathbb{C}[\mathfrak{g}].\]可以验证, $\mathbb{C}[\mathfrak{H}]^{\mathbb{W}}$ 中的多项式分离 $\mathfrak{H}$ 中的 $\mathbb{W}$-轨道. 所以
\[\operatorname{Specm}(\mathbb{C}[\mathfrak{H}]^{\mathbb{W}})=\mathfrak{H}/\mathbb{W}\]那么, 这个映射实际上就诱导了映射
\[\rho:\mathfrak{g}\to \mathfrak{H}/\mathbb{W}.\]他被称作 Grothendieck’s simultaneous resolution. 我们于是得到了这样的图
Lemma 3.1.42: (i) 如上图表交换
(ii) $\mu^{-1}(\mathfrak{g}^{sr})=\tilde{\mathfrak{g}}^{sr}=\nu^{-1}(\mathfrak{H}^{reg})$.
证明这个图标交换, 只需考虑 rings of functions 交换就行. 然后就有这个自然的推论:
Cor 3.1.43: 对于 $\mathfrak{b}$ Borel subalg. nil. radical $\mathfrak{n}$, 对任意 $G$-不变多项式 $P$, $x\in\mathfrak{b}$, $P|_{x+\mathfrak{n}}$ 为常数.
Lemma 3.1.44 大概是为提供这个的另一种证法给出的, $x\in \mathfrak{b}$ s.r. element, 则 $x+\mathfrak{n}=B\cdot x$ 是一个 $B$-orbit.
这样 3.1 就结了, 开3.2!