这部分应该是21号整理完的, 但整理完就去玩()()()()了
桎化行动ddl, 没办法
接下来是抽象Weyl gp., 感觉这块没什么好说的啊()
要把这个 abstract Weyl gp. 实现成某一个 Coxeter group. 参考 Bour 就行了.
我们要研究的事情就是, 为什么这个我们通常了解的 Weyl gp (也就是这里的abstract w.g.) 和那个 定义出来的 w.g. 一样.
Lemma 3.1.26: 对任意 , 我们有典范同构
这个实际上就是通过共轭给出() 于是我们可以 fix 这个抽象 Cartan subalg. 然后, 试着给出他到原先定义的 的同构.
这个实际上就是
我们要做的一些工作就是check这给出了根系和 上的同构, 不过这不难()
关键的问题是, 对于不同的 , 这个映射会怎么表现呢? 考察 , 我们存在 , . 关键的结论是, 记 为 , 定义为 在 下的像, 那么, 根据共轭的办法, 对不同的 的选取, 咱们给出了同样的 .
Defn 3.1.28: 两个 被称作在 的相对位置, 如果 .
然后, 我们有如下定理:
Proposition 3.1.29: 任意两个 pairs , , 他们在相同的相对位置, 当且仅当他们在相同的 -对角轨道上. 也就是说, 这个相对位置给出了 bij.
3.1.31 universal resolution
我们想要复刻 3.1.14 的活()
考虑 , 我们有遮样的diagram
考虑 , 在其上作用通过 给出. 于是轨道空间 给出了 -等价的 vector bundle with fiber . 于是
Cor 3.1.33: 给出了 到 上的 vector bundle, , 给出了 -等价的 isom.
Proposition 3.1.34: 是 proper 的.
大家代数几何功底都很好啊.
定义 为所有包含了 的 Borel subalg. 3.1.35 说的是一些特殊状况, 不难()
然后是 , 这里考虑 为那个 abstract Cartan subalg, 考虑
Proposition 3.1.36: For each , there is a canonical free -action on making a principal -bundle.
这实际上就是 3.1.19 的 generalization.
3.1.37 Chevelley Restriction Thm.
是 polynom. functions on , 是 -inv polys 构成的 subalg. 我们有 restriction map:
于是, 也不难check, 他诱导了
Theorem 3.1.38: For any Cartan subalg , the restriction map gives a canonical graded alg. isom.
首先是 inj 部分, 注意 conj. to 中的 element, 然后他们在 里 dense 就行了.
surj 部分有点复杂. 对于 , 首先, 通过
给出 上的映射, 然后通过
给出 在 上的映射, 并限制在 Zar. open set 上. 再次, 利用 Galois covering 给出 上的 rational function, 并利用紧性证明他是poly. 最后就能比较显然地验证他限制确实得到原先的 了.
而实际上, 考虑
这给出了一个典范的同构, 并且是和 的选取无关的, 于是我们给出了嵌入
可以验证, 中的多项式分离 中的 -轨道. 所以
那么, 这个映射实际上就诱导了映射
他被称作 Grothendieck's simultaneous resolution. 我们于是得到了这样的图
Lemma 3.1.42: (i) 如上图表交换
(ii) .
证明这个图标交换, 只需考虑 rings of functions 交换就行. 然后就有这个自然的推论:
Cor 3.1.43: 对于 Borel subalg. nil. radical , 对任意 -不变多项式 , , 为常数.
Lemma 3.1.44 大概是为提供这个的另一种证法给出的, s.r. element, 则 是一个 -orbit.
这样 3.1 就结了, 开3.2!