好吃
3.2 介绍的 nilp. cone, 感觉是偏向于几何的方向的.
首先定义 $\mathcal{N}$ 是所有在 $ad$ 作用下 nilp. 的 element, $\tilde{\mathcal{N}}=\mu^{-1}(\mathcal{N})$.
当然有
\[\tilde{\mathcal{N}}=G\times_B \mathfrak{n}.\]Lemma 3.2.2: $\tilde{\mathcal{N}}\simeq T^*\mathcal{B}$.
Cor 3.2.3: $\mu:T^*\mathcal{B}\to \mathcal{N}$ moment map, 且 surj.
Defn: 3.2.4: $\mu: T^*\mathcal{B}\to \mathcal{N}$ 称为 Springer resolution.
定义 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G_+$ 为所有 $G$-不变的, constant-term 非零的多项式, 则
Proposition 3.2.5: An element $x\in\mathfrak{g}$ is nilp. iff $P(x)=0$ for all $P\in \mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G_+$.
这个给出了 nilp. element 的 “内蕴的” 定义. 某种意义上就是说, $\mathfrak{g}\to \mathfrak{H}/\mathbb{W}$ 的这个映射映到 $0$. 不难证()
他给出了交换图
Cor 3.2.8: $\mathcal{N}$ is irr var. of dim $2\dim \mathfrak{n}$.
放一放, 不难的() 接下来这个定理的比较有趣, 某种意义上, 他说那个 Jordan decomp
Proposition 3.2.9: the number of nilp. conj. classes of $\mathfrak{g}$ is finite.
Proposition 3.2.10: The regular nilp. elements form a single Zar-open, dense conj. class in $\mathcal{N}$.
然后还是一堆关于 regular 的讨论 fix 一个 $\mathfrak{b}=\mathfrak{h}\oplus\mathfrak{n}$,
Lemma 3.2.12: $\mathfrak{n}^{reg}$ is a single $B$-orbit consisting of regular nilp. elements in $\mathfrak{g}$.
取 $e_i$ 那些 simple roots 对应的 vector, 那么
Lemma 3.2.13: $n=e_1+\cdots+ e_l$ is regular.
然后
Proposition 3.2.14: Any regular nilp. contained in a unique Borel alg.
zzz
3.2.15 Characterization of nilp. elements in $\mathfrak{g}^*$.
核心定理就一个:
Proposition 3.2.16: An element $\lambda\in\mathfrak{g}^*$ is nilp. iff $\langle\lambda,\mathfrak{g}^{\lambda}\rangle=0$.
其中 $\mathfrak{g}^{\lambda}$ 是 $\lambda$ 的 isotropy group (i.e. $\lambda$ 在 coadjoint 作用下的 stabilizer)对应的 subalg.
3.2.18 Stratified spaces and trannsversal slices.
分层的空间(?) fix $Y\subset X\subset V$, $X,Y$ alg var. $V$ (通常)是一个 v.s.
Defn 3.2.19: 称 $S\subset X$ 包含点 $y$ 的 analytic subset 为一个 $Y$ 的 transverse slide, 如果存在邻域 $U\subset X$, 同构
\[f:(Y\cap U)\times S\to U\]且能够 restricts to
\[f:\{y\}\times S\to S,(Y\cap U)\times \{y\}\to (Y\cap U).\]感觉就是微分拓扑里那个定义啊()
考虑 $G\circlearrowright V$ (勾石记号, 因为在这里说的是 alg $G$-var.), $\mathbb{O}$ 为一个 $G$-轨道, 那么我们希望说, 对任意点 $y$, 存在 transverse slice. More precisely, 称 $S_V\subset V$ 是 transverse to $\mathbb{O}$ 的, 如果 $T_y\mathbb{O}$ 和 $T_yS_V$ 是 transverse 的, 也就是说, $T_y\mathbb{O}\oplus T_yS_V=T_y V$.
Lemma 3.2.20: $S_V$ locally-closed, complex-ana. submanifold transverse to $\mathbb{O}$ at $y$. Then, the intersection with $X$ of a small enough open nbhd is a transverse slice.
这个拓扑啥的都是 analytic 的, 所以不难证. 为什么要假设 $G,X$ alg的呢? 主要希望 $\mathbb{O}$ 在 $X$ 里 locally-closed.
否则考虑无理流那种勾石东西, 会出问题().
Cor 3.2.21: 考虑 $S,U$ transverse slice to $\mathbb{O}$, $\pi:\tilde{X}\to X$ $G$-equiv. morph, $\tilde{S}=\pi^{-1}(S), \tilde{U}=\pi^{-1}(U)$. 那么
\[\tilde{U}\simeq (\mathbb{O}\cap U)\times S.\]然后, 定义 transverse slice $S$ of $X_j$ 是 stratified slice, 如果 $f:(X_j\cap U)\times S\to U$ 将 $(X_j\cap U)\times S=\sqcup_i (X_j\cap U)\times (S \cap X_i)$ 这个 partition 映到 $U=\sqcup_i(U\cap X_i)$.
Defn 3.2.23: a finite partition $X=\sqcup_i X_i$ of an alg.var. $X$ is called an alg. stratification of $X$ if the following holds
(1) Each pieces $X_i$ is a smooth locally closed alg. subvar. of $X$,
(2) For any $j\in I$, the closure of $X_j$ is a union of $X_i$’s
(3) For any $j\in I$, $y\in X_j$, there exists a stratified slice to $X_j$ at $y$.
于是,
Proposition 3.2.24: $V$ smooth alg $G$-var. and $X\subset V$, $G$-stable alg. subvar. consisting of finitely many $G$-orbits. Then the partition of $X$ into $G$-orbits is an alg. stratification of $X$.
Cor 3.2.25: The partition $\mathcal{N}=\sqcup \mathbb{O}$ is an alg. stratification.
这样 3.2 就结了, 开3.3!
3.2真比3.1要容易一些吧()