好吃
3.2 介绍的 nilp. cone, 感觉是偏向于几何的方向的.
首先定义 是所有在 作用下 nilp. 的 element, .
当然有
Lemma 3.2.2: .
Cor 3.2.3: moment map, 且 surj.
Defn: 3.2.4: 称为 Springer resolution.
定义 为所有 -不变的, constant-term 非零的多项式, 则
Proposition 3.2.5: An element is nilp. iff for all .
这个给出了 nilp. element 的 "内蕴的" 定义. 某种意义上就是说, 的这个映射映到 . 不难证()
他给出了交换图
Cor 3.2.8: is irr var. of dim .
放一放, 不难的() 接下来这个定理的比较有趣, 某种意义上, 他说那个 Jordan decomp
Proposition 3.2.9: the number of nilp. conj. classes of is finite.
Proposition 3.2.10: The regular nilp. elements form a single Zar-open, dense conj. class in .
然后还是一堆关于 regular 的讨论 fix 一个 ,
Lemma 3.2.12: is a single -orbit consisting of regular nilp. elements in .
取 那些 simple roots 对应的 vector, 那么
Lemma 3.2.13: is regular.
然后
Proposition 3.2.14: Any regular nilp. contained in a unique Borel alg.
zzz
3.2.15 Characterization of nilp. elements in .
核心定理就一个:
Proposition 3.2.16: An element is nilp. iff .
其中 是 的 isotropy group (i.e. 在 coadjoint 作用下的 stabilizer)对应的 subalg.
3.2.18 Stratified spaces and trannsversal slices.
分层的空间(?) fix , alg var. (通常)是一个 v.s.
Defn 3.2.19: 称 包含点 的 analytic subset 为一个 的 transverse slide, 如果存在邻域 , 同构
且能够 restricts to
感觉就是微分拓扑里那个定义啊()
考虑 (勾石记号, 因为在这里说的是 alg -var.), 为一个 -轨道, 那么我们希望说, 对任意点 , 存在 transverse slice. More precisely, 称 是 transverse to 的, 如果 和 是 transverse 的, 也就是说, .
Lemma 3.2.20: locally-closed, complex-ana. submanifold transverse to at . Then, the intersection with of a small enough open nbhd is a transverse slice.
这个拓扑啥的都是 analytic 的, 所以不难证. 为什么要假设 alg的呢? 主要希望 在 里 locally-closed.
否则考虑无理流那种勾石东西, 会出问题().
Cor 3.2.21: 考虑 transverse slice to , -equiv. morph, . 那么
然后, 定义 transverse slice of 是 stratified slice, 如果 将 这个 partition 映到 .
Defn 3.2.23: a finite partition of an alg.var. is called an alg. stratification of if the following holds
(1) Each pieces is a smooth locally closed alg. subvar. of ,
(2) For any , the closure of is a union of 's
(3) For any , , there exists a stratified slice to at .
于是,
Proposition 3.2.24: smooth alg -var. and , -stable alg. subvar. consisting of finitely many -orbits. Then the partition of into -orbits is an alg. stratification of .
Cor 3.2.25: The partition is an alg. stratification.
这样 3.2 就结了, 开3.3!
3.2真比3.1要容易一些吧()