该放假了吗? 该放假了吧!
考虑 $S^n$ 置换群, 他是 $\mathfrak{sl}_n$ 的 Weyl gp. 我们知道他的共轭类和 $\mathfrak{sl}_n$ 中幂零元素的共轭类都对应到 $n$ 的 partition. 对于 $S^n=W$, 我们熟知 $H(Z)\simeq \mathbb{Q}(W)$, 我们有
Theorem 3.6.2: (Irreps of the Symmetric Group). Let $G=SL_n(\mathbb{C})$, for any $x\in \mathcal{N}, d(x)=\dim_{\mathbb{R}}\mathcal{B}_x$, then:
(a) The $H_m(Z)$-mod $H_{d(x)}(\mathcal{B}_x)$ is simple;
(b) The modules $H_{d(x)}(\mathcal{B}_x)$ and $H_{d(y)}(\mathcal{B}_y)$ are isom iff $x$ conj. to $y$;
(c) The collection ${H_{d(x)}(\mathcal{B}_x)|x\in\mathbb{O}\subset \mathcal{N}}$ is a complete collection of isom classes of simple $H_m(Z)$-mods.
这个实际上是后面 3.6.9 的一个 $SL_n$-case 的推论. 这个情况简单很多, 因为没有 $C(x)$ 这个 component gps 的影响:
Lemma 3.6.3: Let $G=GL_n(\mathbb{C})$, then for all $x\in\mathfrak{g}$, $G(x)$ is connected s.t. $C(x)=G(x)/G^0(x)=1$.
注意, 其实这里的东西, 包括 $\mathcal{N},\mathcal{B},Z$ 在内, 如果我们把某个 s.s. 的 $\mathfrak{g}’$ 换成reductive 的 $\mathfrak{g}$, 使得 $[\mathfrak{g},\mathfrak{g}]=\mathfrak{g}’$, 那么实际上, 我们考虑 $SL_n$ 的case, 只用考虑 $GL_n$ 就行了.
3.6.3 证明还挺有意思的(也许吧). 由于 $G(x)={y|yx=xy,\det y=0}$.
$yx=xy$ 是一个复平面, 而 $\det y\neq 0$ 给出了 codim 为 $2$ 的 complex hypersurface (其实并非流形, 但是是 CW cpx.). 根据传说中的横截相交理论即得 $G(x)$ 连通.
(但这个对 $SL_n$ 的 case 不一定对, 比方说 regular 的 center 是有限个 $\lambda I$, 其中 $\lambda$ 是单位根.)
我们熟知,
\[|S_n|=\sum (\dim V)^2.\]这实际上可以根据如下给出: 我们知道
\[\sqcup_{w\in W}T^\ast_{Y_w}(\mathcal{B}\times \mathcal{B})=Z=\sqcup_{\mathbb{O}\subset \mathcal{N}}Z_{\mathbb{O}}=\sqcup_{\mathbb{O}\subset \mathcal{N}} Z_{\mathbb{O}}^{\alpha,\beta}.\]然后,
\[\# S_n=\#\{\text{components of }Z\}=\sum_{\mathbb{O}}\#\{\text{components of }\mathcal{B}_x\text{ for some }x\in\mathbb{O}\}^2=\sum_{\mathbb{O}}(\dim H_{d(x)}(\mathcal{B}_x))^2.\]Cor 3.6.8: We have
\[\sum_{V\in \hat{S}}\dim V=\#\{\text{involutions in }S_n\}\]这是因为对于 $T^\ast_{Y_w}(\mathcal{B}\times \mathcal{B})$, $w$ 是 involution 当且仅当 $T^\ast_{Y_w}(\mathcal{B}\times \mathcal{B})$ 在 switching factor 的作用下不变. 于是, Steinberg var. 在 switching components 作用下不变的 factors 的 irr components 数量恰等于 involutions 的数量.
但, 在 $Z_{\mathbb{O}}$ 里, 在 switching components 作用下不变的 irr components 一定是 $Z^{\alpha,\alpha}_{x}=G\times_{G(x)}(\mathcal{B}^\alpha_x\times \mathcal{B}^\alpha_x)$. 这个的数量恰好等于 $\dim H_{d(x)}(\mathcal{B}_x)$. 证毕.
实际上 Thm 3.6.2 是基于, 对一般的 s.s. 群 $G$, 我们依然有
\[H_{d(x)}(\mathcal{B}_x,\mathbb{C})\simeq\oplus_{\psi\in C(x)^{\wedge}}\psi\otimes H_{d(x)}(\mathcal{B}_x,\mathbb{C})_{\psi}.\]根据lemma 3.5.3, 这些 $H_{d(x)}(\mathcal{B}_x,\mathbb{C})_{\psi}$ isotypic components 拥有自然的 $H(Z)$-mod structure, 且
Theorem 3.6.9: (Springer classification of simple $W$-mods) The set
\[\{H_{d(x)}(\mathcal{B}_x,\mathbb{C})_{\psi}|G\text{-conj. classes of pairs }(x\in\mathcal{N};\psi\in C(x)^{\wedge})\}\]is a complete collections of isom classes of simple $W$-mods.
It is only left to show that, 3.5.5. 也就是说,
\[H(\cal{B}_x)_{R}=(H(\cal{B}_x)_{L})^{\vee}.\]而这个不太难. 我们注意到 $\tilde{\mathcal{N}}\times\tilde{\mathcal{N}}$ 上有 involution 结构, given by switching factor. 有
\[(c_1\ast c_2)^t=c_2^t\ast c_1^t.\]$c\cdot v=v\cdot c^t$ 给出了从 $H(Z)$-右模到左模的映射. 显然有
\[H(\mathcal{B}_x)_R^t=H(\mathcal{B}_x)_L.\]我们只需要, w.r.t. Thm 3.4.1, 对任意 $V$ 作为 $W$-mod, 我们需要说明
\[V\simeq (V^\vee)^t.\]而,
Lemma 3.6.11: 在 $H(Z)\simeq\mathbb{Q}[W]$ 下, anti-involution $c\mapsto c^t$ 对应到 $w\mapsto w^{-1}$.
于是, 只需要说明, 作为 $W$-mod, $V\simeq V^\ast$. 而这个选取一个 $V$ 上的 $W$-不变的 nondeg pairing 即可.
根据上文我们实际上说明了
\[H_i(\mathcal{B}_x,\mathbb{Q})\simeq H_i(\mathcal{B}_x,\mathbb{Q})^\ast\simeq H^i(\mathcal{B}_x,\mathbb{Q}).\]我们现在要考虑 $H^\ast(\mathcal{B},\mathbb{Q})$ 上的 Weyl gp. action.
要知道我们是没有一个 abstract Weyl group $\mathbb{W}$ 在 $\mathcal{B}$ 上的作用的. 但是, 如果我们选定了 $T$ torus, $B=TU$ Borel subgroup, 我们可以 identify $\mathbb{W}\simeq N(T)/T$, 以及
\[p:G/T\to G/B\simeq \mathcal{B}.\]而, 这是一个 locally trivial fibration with contractible fibers isom. to $U$. 于是我们得到
\[p^\ast:H^\ast(\mathcal{B})\overset{\sim}{\to} H^\ast(G/T), p_\ast:H^{ord}_\ast(G/T)\overset{\sim}{\to} H_\ast(\mathcal{B})\]前面那个是 Borel-Moore 的拉回, 后面那个是 ordinary 的推前. 而 $\mathcal{B}$ 是 proj. 的, 二者自然相同.
通过大一学生应该会的代数 argument, 我们得到 $N(T)$ 在 $G/T$ 上的右作用. In particular, it factor through $W=N(T)/T$. 于是, 我们给出了 $W$ 在 $H^\ast(G/T)$ 和 $H_\ast^{ord}(G/T)$ 上的作用, 从而对应到 $H^\ast(\mathcal{B})$ 和 $H_\ast(\mathcal{B})$ 的作用.
这松岛辉空打的跟一投注一样, 张本智和有福了[捂脸]
根据 Bruhat decomp, 我们将 $\mathcal{B}$ 分成了一堆 \ast\ast偶数维\ast\ast 的 \ast\ast可缩\ast\ast cells. 于是根据 CW-复形的理论, 给出了
\[\dim H_\ast(\mathcal{B})=\#W.\]然后, 由于 $\mathcal{B}$ connected smooth var, $H_{top}(\mathcal{B})$ 是一维的. 也许根据3.1里的论述我们得到 simple reflection 改变 $G/B$ 的定向, 于是 $W$ 在 $H_{top}(\mathcal{B})$ 上的作用是 given by sign 的.
现在, 我们将 $\mathbb{W}$ fixed by $(T,B)$, 于是给出了 $\mathbb{W}$ 在 $H_\ast(\mathcal{B})$ 上的作用. 但是, 实际上这个作用与 $(T,B)$ 的选取无关: 这里有 $\mathcal{B}=\mathcal{B}_0$, 而
Claim 3.6.17: The $\mathbb{W}$-action on $H_\ast(\mathcal{B})$ arising from the convolution construction via Thm 3.4.1 is the same as one described above.
这个 Claim 的证明先跳过() 总之我们这里先强调一下, 我们是有一个 $\mathbb{W}$-action 作用在 $H(Z)$ 上的.
而, $\mathcal{B}_x\hookrightarrow \mathcal{B}$ 给出了 $H_\ast(\mathcal{B}_x)\to H_\ast(\mathcal{B})$, 且在 $G(x)$ 作用下相容, 因此在 $C(x)$ 作用下依然相容. 但是后者在 $C(x)$ 的作用下是 trivial 的, 因为, 更准确地说, 他在 $G$ 的作用下都是 trivial 的. 因此, 可以想象这个映射不是单射, 否则整个 $C(x)$ 轨道里的元素像都落在同一个对象里.
但是, 我们依然有结论
Claim 3.6.23: The morph $H_\ast(\mathcal{B}_x)\to H_\ast(\mathcal{B})$ commutes with the $\mathbb{W}$-action. Furthermore, for $d(x)=\dim_{\mathbb{R}}\mathcal{B}_x$, the map
\[H_{d(x)}(\mathcal{B}_x)^{C(x)}\to H_{d(x)}(\mathcal{B})\]is injective.
因此 $H_\ast(\mathcal{B}_x)\to H_\ast(\mathcal{B})$ 的 image 是一个 $\mathbb{W}$ 不变的子空间. 书上有一个remark, 就是说, 我们没有 elementary 的方法去 check $H_\ast(\mathcal{B}_x)\to H_\ast(\mathcal{B})$ 的 image 在 $\mathbb{W}$ 作用下不变, 只能通过这种复杂的办法搞定()
本章的收尾是如下的 example: $x\in \mathcal{N}$ regular nilp. Then there is $\mathfrak{b}$ containing $x$ s.t. $\mathcal{B}_x={\mathfrak{b}}$, 于是 $H_\ast(\mathcal{B}_x,\mathbb{Q})=H_0(\mathcal{B}_x,\mathbb{Q})=\mathbb{Q}$ 且 $W$ 在其上 trivial 作用.
zzz
什么时候放假