该放假了吗? 该放假了吧!
考虑 置换群, 他是 的 Weyl gp. 我们知道他的共轭类和 中幂零元素的共轭类都对应到 的 partition. 对于 , 我们熟知 , 我们有
Theorem 3.6.2: (Irreps of the Symmetric Group). Let , for any , then:
(a) The -mod is simple;
(b) The modules and are isom iff conj. to ;
(c) The collection is a complete collection of isom classes of simple -mods.
这个实际上是后面 3.6.9 的一个 -case 的推论. 这个情况简单很多, 因为没有 这个 component gps 的影响:
Lemma 3.6.3: Let , then for all , is connected s.t. .
注意, 其实这里的东西, 包括 在内, 如果我们把某个 s.s. 的 换成reductive 的 , 使得 , 那么实际上, 我们考虑 的case, 只用考虑 就行了.
3.6.3 证明还挺有意思的(也许吧). 由于 .
是一个复平面, 而 给出了 codim 为 的 complex hypersurface (其实并非流形, 但是是 CW cpx.). 根据传说中的横截相交理论即得 连通.
(但这个对 的 case 不一定对, 比方说 regular 的 center 是有限个 , 其中 是单位根.)
我们熟知,
这实际上可以根据如下给出: 我们知道
然后,
Cor 3.6.8: We have
这是因为对于 , 是 involution 当且仅当 在 switching factor 的作用下不变. 于是, Steinberg var. 在 switching components 作用下不变的 factors 的 irr components 数量恰等于 involutions 的数量.
但, 在 里, 在 switching components 作用下不变的 irr components 一定是 . 这个的数量恰好等于 . 证毕.
实际上 Thm 3.6.2 是基于, 对一般的 s.s. 群 , 我们依然有
根据lemma 3.5.3, 这些 isotypic components 拥有自然的 -mod structure, 且
Theorem 3.6.9: (Springer classification of simple -mods) The set
is a complete collections of isom classes of simple -mods.
It is only left to show that, 3.5.5. 也就是说,
而这个不太难. 我们注意到 上有 involution 结构, given by switching factor. 有
给出了从 -右模到左模的映射. 显然有
我们只需要, w.r.t. Thm 3.4.1, 对任意 作为 -mod, 我们需要说明
而,
Lemma 3.6.11: 在 下, anti-involution 对应到 .
于是, 只需要说明, 作为 -mod, . 而这个选取一个 上的 -不变的 nondeg pairing 即可.
根据上文我们实际上说明了
我们现在要考虑 上的 Weyl gp. action.
要知道我们是没有一个 abstract Weyl group 在 上的作用的. 但是, 如果我们选定了 torus, Borel subgroup, 我们可以 identify , 以及
而, 这是一个 locally trivial fibration with contractible fibers isom. to . 于是我们得到
前面那个是 Borel-Moore 的拉回, 后面那个是 ordinary 的推前. 而 是 proj. 的, 二者自然相同.
通过大一学生应该会的代数 argument, 我们得到 在 上的右作用. In particular, it factor through . 于是, 我们给出了 在 和 上的作用, 从而对应到 和 的作用.
这松岛辉空打的跟一投注一样, 张本智和有福了[捂脸]
根据 Bruhat decomp, 我们将 分成了一堆 \ast\ast偶数维\ast\ast 的 \ast\ast可缩\ast\ast cells. 于是根据 CW-复形的理论, 给出了
然后, 由于 connected smooth var, 是一维的. 也许根据3.1里的论述我们得到 simple reflection 改变 的定向, 于是 在 上的作用是 given by sign 的.
现在, 我们将 fixed by , 于是给出了 在 上的作用. 但是, 实际上这个作用与 的选取无关: 这里有 , 而
Claim 3.6.17: The -action on arising from the convolution construction via Thm 3.4.1 is the same as one described above.
这个 Claim 的证明先跳过() 总之我们这里先强调一下, 我们是有一个 -action 作用在 上的.
而, 给出了 , 且在 作用下相容, 因此在 作用下依然相容. 但是后者在 的作用下是 trivial 的, 因为, 更准确地说, 他在 的作用下都是 trivial 的. 因此, 可以想象这个映射不是单射, 否则整个 轨道里的元素像都落在同一个对象里.
但是, 我们依然有结论
Claim 3.6.23: The morph commutes with the -action. Furthermore, for , the map
is injective.
因此 的 image 是一个 不变的子空间. 书上有一个remark, 就是说, 我们没有 elementary 的方法去 check 的 image 在 作用下不变, 只能通过这种复杂的办法搞定()
本章的收尾是如下的 example: regular nilp. Then there is containing s.t. , 于是 且 在其上 trivial 作用.
zzz
什么时候放假