好久不见.

上期更新 CG 的时候还是3月份, 时间过得真快啊.

我们上期刚刚好停在了8.3. 这两章是讲 Constructible, 函子理论和 Perverse sheaves 的. 那既然我懒得再重写一遍这个了, 我直接 assume 我还记得 Achar 那里的东西好了.

故事是说, 对于 $Y\subset X$ smooth locally closed subvar. of complex dimension $d$, $\mathcal{L}$ local system. 我们总能搓一个 $D^b(X)$ 中的 $IC(Y,\mathcal{L})$, supported on $\bar{Y}$, 满足一系列优美的条件. In particular, 简记其为 $I$, 他满足如下条件

1. $H^iI=0$, $\forall i<-d$,

2. $H^{-d}I|_Y=\mathcal{L}$.

3. $I$ 是一个 perverse sheaf.

那么最出名的 BBD 定理如下:

Thm 8.3.4.

(1) $D^b(X)$ 中的 Perverse sheaves 构成一个 heart, 他是 abelian 的.

(2) $D^b(X)$ 中的 simple objects 恰为全体 $IC(Y,\mathcal{L})$, 其中 $\mathcal{L}$ irr. LocSys.

Cor 8.4.4

(1) $\operatorname{Ext}^k(IC_\phi,IC_\psi)=0,\forall k<0$.

(2) $\operatorname{Ext}^0(IC_\phi,IC_\psi)=\mathbb{C}\cdot \delta_{\phi\psi}$.

我们称 $\mu:M\to N$ 是一个 projective morphism, 如果他可以分解为 $M\overset{i}{\hookrightarrow} P\times N\overset{\operatorname{pr}_2}{\to} N$, 其中 $i$ closed embedding, $P$ projective. 于是在这种条件下, Perverse sheaves 有一个深刻的结论: 对于任意 $X\subset M$ smooth locally closed subvar. 有分解

其中 $Y$ locally closed, $\chi$ irr. LocSys. $L_{Y,\chi}(i)$ 是一个 fdvs. 这就是所谓的 Decomposition Theorem.

现在, 考虑一个简单的 object: 对于 $X$ with irred. comp $X_i$, define $\mathcal{C}_X$ by

于是对于 $\mu:M\to N$ proj. morphism, $N=\sqcup N_\alpha$ s.t. $\mu:\mu^{-1}(N_\beta)\to N_\beta$ locally trivial topological fib. 于是,

换言之, 如果我们取 $L_\phi:=\oplus_{k\in \mathbb{Z}}L_{\phi}(k)$, 定义 $\doteq $ by quasi-isom. that holds up to a shift, 那么我们有

好的, 现在来到等变领域. 对于 $G\supset H$, 我们诱导了

对于 $G$ conn. case, 我们诱导了 $\pi_1(G/H)\twoheadrightarrow H/H_0$ (以及非满射的 case for $G$ not conn.)

Lemma 8.4.11. $\mathcal{L}$ LocSys on $G/H$ is $G$-equiv. iff its corresponding $\pi_1(G/H,x)$ is a pullback by $\pi_1(G/H)\to H/H^\circ$ of a f.d. repn. of $H/H^\circ$.

当然, 这是因为 G-equiv. 等价于说这个 $\pi_1(G/H)$ 的表示, 在 $\pi_1(G)$ 的作用下是 trivial 的.

由于 $H/H^\circ$ 总是有限的, $H/H^\circ$-mod. 总是 s.s. 的.

于是, 对于 $\mu:M\to N$ $G$-equiv. proj. morph. between $G$ var, $M$ smooth. 假设 $N$ 拥有 finite $G$-orbits.

Thm. 8.4.12. There is a direct sum decomposition in $D^b(N)$.

where $\phi=(\mathbb{O},\chi)$ runs over the set of couples of $G$-orbit $\mathbb{O}$, $\chi$ irr. $G$-equiv. LocSys $\chi$ on $\mathbb{O}$; $L_\phi(i)$ fdvs.

Fine 先到这里