接下来我们故事开始于研究 $\mathbb{H}$-mod $L_{a,x,\chi}$ 与 $IC$ sheaves 之间的关系. 考虑 $i:Z\hookrightarrow X$ embedding of locally closed subset. 对于 $A\in D^b(X)$, 我们有 natural isom.
\[i^!A\to i^*A.\]几何的来说, 就是
\[\{\text{Sections supported on }Z\}\to\{\text{Sections on a nbhd of }Z\}.\]现在, 对于 $i_x:{x}\hookrightarrow X$ embedding,
Lemma 8.5.3. $i^!_xIC(Y,\mathcal{L})\to i^\ast _xIC(Y,\mathcal{L})$ vanishes unless $Y={x}$, in which case it is an isom.
这是 IC sheaves 的性质保证的. 对于 $M$ smooth, $\mu:M\to N$ proper. $i_x:{x}\hookrightarrow N$ embedding. 考虑 $\mathcal{C}_M$ constant perverse sheaf on $M$, $\mu_\ast \mathcal{C}_M$ its direct image.
在 $M$ has pure dim $m$ 时, 我们有 natural isom
\[H^\cdot(M_x)\simeq H^{\cdot-m}(i_x^*\mathcal{C}_M),H_\cdot(M_x)\simeq H^{\cdot-m}(i_x^!\mathcal{C}_M).\]这个其实就是做个 base change 就做完了.
那么接下来, 我们关键的事情是有如下 commutative diagram
后者 induced by Poincare. 而, 选取 $U\subset N$ small enough open nbhd of $x$ s.t.$\tilde{i}:M_x\hookrightarrow \tilde{U}=\mu^{-1}U$. 我们实际上有 $H^\cdot(i^\ast _x\mu_\ast \mathcal{C}_M)=H^{m+\cdot}(\tilde{U})$. 于是, 由于 $\tilde{U}$ open smooth, $M_x$ compact, 我们有
其中 $\tilde{i}:M_x\hookrightarrow M$.
拖着拖着不知不觉就从7.2拖到7.14了. 时间怎么这么快..
现在, 对于 $M$ smooth alg. var. of pure dim $m$, $\mu:M\to N$ proj. morph. 对于 $N$ 的一个 regular stratification $\sqcup N_\alpha$ s.t. $\mu^{-1}(N_\alpha)\to N_\alpha$ 是一个 locally trivial topological fibration. 根据上面的定理我们有
\[\mu_*\mathcal{C}_M\doteq \oplus_{\phi=(N_\beta,\mathcal{L}_\beta)}L_\phi\otimes IC_{\phi}.\]也就是说, up to 一个 shift 两边取等.
于是现在考虑 $x\in N, i_x:{x}\hookrightarrow N$ 根据上面那个 base change lemma, 有
\[H^{m+\cdot}(M_x)=H^\cdot(i^*_x\mu_*\mathcal{C}_M)\doteq \oplus_{\phi}L_\phi\otimes H^\cdot(i^*_xIC_\phi).\]对于 ${x}=N_0$ “minimal” stratum, 有 $IC_x=\mathbb{C}_x$. 于是由于 $\dim H^(\mathbb{C}_x)=1$, 总有 $L_x$ has multiplicity $\leq 1$. 于是在这种情况下 $H^\cdot(M_x)$ 的 $L_x$ subspace 结构是给定的. 此外, 根据上面的大交换图标, 我们可以将 $L_x$ 看作 $H_\cdot(\tilde{U})$ 的 sub.
此外, 注意我们有 bilinear pairing
\[\langle-,-\rangle^{\tilde{U}}:H_{m+\cdot}(M_x)\times H_{m+\cdot}(M_x)\overset{\cap}{\to} \mathbb{C}.\](写到这里的时候 CG 有很多 typo, 看得出来这俩哥们也不太想写了)
这一部分我们就先写到这个关键结果作为结尾吧:
Prop. 8.5.10. 对于 ${x}=N_0$ one point stratum. 考虑 direct image map $\tilde{i}_\ast :H_\cdot(M_x)\to H_\cdot(\tilde{U})$. Then
(i) The image of $\tilde{i}_\ast $ equals $L_x$, viewed as a subspace of $H_\cdot(\tilde{U})\doteq H^\cdot(M_x)$.
(ii) The kernel of $\tilde{i}_\ast $ equals to the radical of the bilinear form $\langle-,-\rangle^{\tilde{U}}$ on $H_\cdot(M_x)$.
Coro. 8.5.13. We have natural isom.
\[H_\cdot(M_x)/Rad\langle-,-\rangle^{\tilde{U}}\doteq L_x.\]