量子群讲座
无可奈何听不懂
过来写CG
回顾我们有 , 他的 image, denoted by , 有一组由 之 irr. polyn. 构成的 distinguished basis. 对于 的 comp. , 记 为其对应的 的 comp.
现在, 考虑 , 考虑 , 他是 -stable 的, 因此是 -stable 的. 记 为 -equiv. Hilbert Polyn. 为 的 irr. comp. 构成的 set.
fix , . 我们有如下关键定理:
Thm. 7.4.1. The equiv. Hilbert polyn.
are homogeneous -harmonic poly. on of deg. . Moreover, for any , proportional to . In particular, Hilbert. polys. form the distinguished basis of v.s. .
考虑 v.s. of deg. homogeneous polys. on . -inv. polys. without const. terms. 有 natural proj.
欲证 7.4.1. 我们需要如下两条引理
Prop. 7.4.3. For any ,
Prop 7.4.4. span a -stable subspace in .
recall 对于 -equiv. coh. sheaf on , 考虑其 formal char.
是一个 function on , 于是我们可以将其拉回 by exponential. 于是, 我们给出了 well-def. gp. homo.
记 ideal consisting of formal power series without const. term. 我们自然给出了 -adic filtration . 于是, 6.6.12 给出了如下结论:
Claim 7.4.6. takes to , for any .
由于我们始终有 , 根据 7.4.6. 我们有 homo.
而, 另一方面我们考虑 我们给出了 comm. diag.
于是, 考虑到根据 restriction, 我们能自然地诱导 . 有
现在, 我们记上下为 与 . 根据 6.6.8, 我们有 . 于是, contained in . (lemma 7.4.10)
现在, 考虑 , 有
by 6.4. 回忆 augmentation ideal of . 而我们有 , 在上述 setting 下, 后者 corresp. to .
接下来我们要做的工作就是证明 7.4.3, 7.4.4. 并以此证明 7.4.1. 但这每个证明都长得很. 为此, 我只大概 sketch 一下证明梗概. (我相信你能够在接受这个梗概之后很快地从原书中了解具体证明)
7.4.3. 是说,
首先说明, 先将 打到 , 再 proj. 到 , 与先 proj. 到 , 再通过 $i^\ast j_\ast $ 加上 Poincare dual 打到 的两个映射 coincide. 而这个说明这个相对简单: 只要找到合适的中间 object 即可. 最终我们能够填出一个 的 diag., 就不搬上来了()
现在, 考虑 irrcomp. 于是根据 7.4.10, 我们得到交换图
而, 在上侧先打到 , 再对应到 . 而在左侧箭头, 其先对应到 , 再打到 . 因此原命题成立.
7.4.4 则是说 生成的空间是 -stable 的. 为此, 我们现在考虑 为对应的 复合上 . 于是, 我们只用说明 张成的空间是 -stable 的. 而, 考虑 在 或 上的卷积作用, 我们得到了 与 的作用交换. In particular, 与 的作用交换. 根据 7.3.31(ii), 与 的作用交换. 而由 6.1.11, 我们直接有 与 交换. $\exp^\ast $ 与 交换是 trivial 的. 因此, comm. with -action, 于是 -stable.
最后, 回到 7.4.1. 我们有 -map . 而, 这个 morph. 恰对应到在 7.4.3 的证明中的 diag. 的 top row. 而其 factor through . 这个 map completely determined by values on structure sheaves of irr comp. 因此, 其 descends to -equiv. linear map .
由于我们有 . 我们可以按照像集构造
由于 , 有 . 于是根据 7.4.3, . 但这个 限制在 上是 isom. 因此 .
而对于 , compose with . 有 . 注意 -equiv. 我们有其 image -space. 但左侧 是一个 irr. repn. 由于 , 的 simple -mods 只 occurs in . 根据 6.5.3, 不会 occurs in for . 因此 vanishes. 于是 . 得证.