cg补完计划
现在开始做一些研究了之后, 感觉也没什么特别的必要去看 CG 了. 取而代之的是有一堆诡异的东西要学. 而这些东西像一座山一样高.
但不管怎么说, 补完这个, 也算彻底完结了一个系列.
重要的.
Recall 我们的 affine Hecke algebra , 我们这一个 Chapter 要做的事情, 就是去 classify 他的 simple mods.
在 8.1, 我们介绍了 so-called standard -mods. 然后在 8.3, 8.4, 我们会介绍一下 constructible sheaves. 在 8.5 里, 我们利用 intersection cohomology 来描述其 underlying vector space. 在 8.6, 我们会给出一个 sheaf-theoritic construction, 从而说明其 irreducible, 且所有 irr. 都包含在里面. 而在 8.8, 我们会证明所有这么构造的都是 nonzero 的. 从而完成证明.
在 8.2, 我们会给出 standard modules 的 char. formula. 在 8.6, 我们会利用 ic 的技术给出 expression of multiplicity of simple module. 在 8.7, 我们给出相似的 projective -mods 的 multiplicity formula. 最后, 在 8.9, 我们会处理一个 special case, 从而给出第三章 Springer representation 的另一个证明.
此外, 在 8.3-8.7, 我们得到的东西是非常 general 的, 而在 8.2, 8.8, 我们要利用一些特别的 affine Hecke 的性质.
Recall . 我们可以把他看做 class functions
现在, 我们考虑 , 他可以写作 , with $a=(s,t)\in G\times \mathbb{C}^\ast $. 于是我们可以 view as -mod. by
现在, 考虑 tensor prod, 为 Hecke algebra specialized at . 根据简单的刻画我们可以得到 . 特别地, 拥有 natural -alg. structure. 有一个简单的性质是, -mod 是 simple 的 iff 其对应的 -mod. 是 simple 的. 于是, 我们得到
Cor 8.1.2. acts by scalar multiplication on any simple -module.
于是
Cor 8.1.4. 在 simple -mod. 上的作用, 总 factors through 一个 .
根据 6.2.9, 我们有 拥有 complex dimension , 于是有限维. 于是 的 simple mod 都是有限维的. 现在, 我们 claim 拥有纯粹的 geometric interpertation.
view as $G\times \mathbb{C}^\ast $ with $\mathbb{C}^\ast $ acts by dilation. 对 , 定义 corresponding -fixed pts. 由于 , 有 . 现在, 我们可以考虑 BM homology
Prop 8.1.5. 对于 $a=(s,t)\in G\times \mathbb{C}^\ast $ s.s. element, 有 natural alg. isom.
这是因为根据我们前面的那一套东西, 有
对于 , , 我们考虑 为 Borels simultaneously fixed by and .
Remark 8.1.7. is non-empty.
这是因为 和 生成一个 solvable subgp. 而其包含于某个 Borel 里.
于是, 根据 3.5.2, 3.5.3. 的证明, 我们得到
Lemma 8.1.8. -action commutes with the -action on . 此外, 对于 属于相同的 -conjugacy class in , 与 为 isomorphic -mods.
现在, 考虑 set of isom. classes of simple -mod. 对于 我们定义
为一个 standard -mod.
注意 拥有 vanished odd homology. 于是 , 为两个不同的 submods. 因此 为两个不同的 submod. 此外, 有一个 known fact 是 odd part vanishes. 因此, odd homology part of std. mod. vanishes.
接下来我们要引入另一个鬼畜的东西: co-standard modules. 这个明天再搞吧.