这一章是讲 Specialization 的. 也许领会精神就行了, 不用 check 太 technique 的东西.
对于 -equiv. morph, smooth alg. curver with base pt . -var, -equiv. morph. 考虑 , .
我们希望给出 specialization morph.
定义 是 -equiv. coh. sheaf $\mathcal{F}^\ast $ on $X^\ast $ 的 lattice. 如果
(i) -equiv. coh. sheaf on s.t. $\mathcal{F}|_{X^\ast }=\mathcal{F}^\ast $.
(ii) has no subsheaves supported on .
Lemma 5.3.2 则是说, 对于如上的 setting, lattice 存在. 且对于 lattices,
其中 是一个 local para. s.t. .
存在性就是考虑, 由于 $X^\ast $ open dense, $\mathcal{F}^\ast $ 可以扩充成 . 于是考虑 为 商掉所有 作用下的 ker. 满足题意. 而 "唯一性" 则 follow by .
现在, 我们定义
根据等价关系上简单的 argument, 这给出了
接下来来考虑这个 limit (specialization) 和 reduction 之间的关系. 首先, 他 note 了一下他所提到的 "fibration" 指处处 surj. diff. 的 morph.
考虑 smooth -var. smooth -equiv. fibration over (with trivial -action). closed -stable subvar. put , . 有
Lemma 5.3.6: -equiv. coh. sheaf on . Then we have, in ,
where the specialization on LHS is taken w.r.t. a (non-flat) morph. , 表示 restriction with supports.
这个证明是一个 purely a.g.(?) 的东西. 留着明天看吧.
这个证明也许还值得说一下.
接下来的一个事情是, specialization 和 convolution 交换. set smooth. alg. -var., fibration. Take , $M_i^\ast $ 定义如上. take . 考虑 . 考虑 为 在 上的限制. Put . 有
Theorem 5.3.9: The following diag. commutes.
说实话, 我对那个 很迷惑: 很显然我们不可能从 搞出 到 的映射.
好, 问了神奇的粮食, 我们可以考虑 fiber prod 作为一个 curve. 在这种情况下当然可以诱导 .
fiber prod. 很神奇吧()
接下来是 Proj. formula 和 base change. 下面这个结论来自于 Hartshorne II Ex.5.1: , coh. sheaf on , equiv. locally free sheaf on . 于是, 有
当然, 要注意他的定义是直接 follow 的 Hartshorne 上的, 并不是我们定义的 上的 mapping. 这个的证明要到 Fulton 的 Intersection Theory 找()
然后是 base change, 先来那个 Setting -equiv. 考虑 natural cartesian
现在考虑, either flat or closed embedding of smooth var and there is smooth fibration s.t. 是 在 上的限制. 在这种条件下, 我们可以定义 : flat case 是通过 和 5.2.5, closed embedding case 则是考虑 , 然后考虑上述的 Cartesian diag. with smooth ambient var. 然后利用 restriction with support .
Prop 5.3.15: 如果 either of 上述两个 assumption hold 且, proper, 那么following diag. commutes:
flat case 是 follows from SGA, 而 closed embedding case 则尤为简单: 考虑 , 他拥有 finite -equiv resol. . 于是, 是 given by tensoring . 因此