Proj. Bundle thm and Beilinson Thm.
Setting 是, complex. v.s., , proj. space. .
Beilinson resol. 是说, 拥有一个 canonical resol. by locally free sheaves. 这是一个很代数几何的结论.
Construction: 考虑 tautological line bundle on with fibre on is . 考虑 dual bundle. 对任意 $\check{v}\in V^\ast $ 我们给出了一个 global section of . 于是我们有 canonical isom.
于是, 我们可以将 看做 的一个 global section. 而, given by 给出了一个在 处的 coker 是与 正交的所有向量的一个 morph. 也就是 s.e.s.
而, by tensor 一个 给出了 Euler seq.
with .
而上面那个则给出一个 canonical isom.
现在, 对于
对于 bundles over , 记 . 根据 Kunneth formula 我们有
我们希望考虑 global section of corresp. to identity. 我们接下来要刻画这个 : 考虑
那么考虑 global section
对于 , 在我们的定义下
给出这样的 就是说
于是, vanishes iff linearly indep., 也就是说, 其 zero locus 为 .
而, 与 的 contraction 给出了 sheaf morph.
于是, 我们得到了 free resol. of :
而, . 我们记 . 有 . 于是我们得到 resol.
这便给出了这样的 resol.
特别地, 由于这样给出了 的一个 的一个 interpretation, 我们有
Cor 5.7.5. The Kunneth theorem holds for .
回顾一下 proj. bundle thm, 他是说对于 -equiv. -dim. alg. v.b. on -var. , let associated proj. bundel. 有 freely gen. over by . 我们现在要给出他的证明. 为此, 先考虑
边界的四个映射构成 Cartesian diag. 我们有 relative ver. Euler seq.
于是其给出了 canonical resol. of :
现在, 考虑 上 拥有 finite locally free -equiv. resol. 定义
现在考虑 , 有
于是,
但,
于是,
tensor by , set , 我们得到
于是 的 surj. 部分得证. 而由于
每一个 sheaf on 都 quasi-isom. to 一个 complex of sheaves with all terms being direct sum of copies of , 于是 的 proj. bundle thm 可以通过 Quillen 的 "Resolution Thm" 给出. (Ref: Quillen, D., Higher algebraic -theory I, Higher -theories.) 是个纯代数的部分().
阿蕾奇诺生日快乐!
(快给我画成枫原万叶了kk)