5.5 则不长, 讲的是 Cellular Fibration Lemma
对于 morph. of -var. 我们称 是一个 cellular fibration over , 如果 equipped with a finite decreasing filt. . s.t.
(a) -stable closed alg. subvar.; furthermore, -equiv locally trivial fibration.
(b) -equiv. affine fibration.
记, , 考虑
如下 Lemma, 即被称作 cellular fibration lemma:
Lemma 5.5.1. In the above setup, the following holds.
(a) 对任意 , 有 s.e.s.
(b) 如果 free -mod. with basis , 于是上述所有 s.e.s. 都 (non-canonically) split. Moreover, free -mod. with basis .
(c) closed alg. subgp., suppose that holdsfor both , 如果 natural map
isom, then so is
(553) 是来自 这个 (inflation? 我一直记得能这么叫, 但找不到出处了kk).
这个证明如下, 是一些符号练习()
首先, 考虑
可以导出 $j^\ast $ surj, 于是 triv. (a) 得证.
(b) 通过 induction 证明之. 首先, 的情况下, 我们有 Thom , 原命题显然成立. 而对于归纳过程, 我们只需要注意到 , 然后利用 (a) 中 s.e.s., 我们可以得到 free, 且 s.e.s. splits.
(c) 则是, 由于 free, tensoring 之后 (a) 依然是 s.e.s.
而直接考虑 -equiv. bundle, 其导出
我们得到 commutative diag.
然后通过归纳和五引理, 得证.
5.5.5 讲的则是 Topological -theory. 对于一个 locally compact top. space with 一个 compact gp -action, 我们通过向量丛的结构来定义其拓扑 群 . 这个跟我们先前的代数 群 构造是不一样的: 他完全没有用到代数的结构.
这二者关系是这样的: 首先, 考虑 complex red. gp., maximal compact subgp. 于是, 按照如下定义, 我们有自然的 homo. . 首先, 对于 smooth compact 的情况, 直接取 equiv. v.b., 将它 regard as top. v.b. 对于 singular proj. var. 的情况下, 我们将 嵌入 smooth proj. -var. . 于是 上的 coh. sheaf. 在 上有 finite equiv. resol. 于是 把每一个 equiv. v.b. 打到 上的 resol. 即可. 对于 noncompact 的情况, CG 直接引用的 [BFM], 我们跳过()
我们有如下结论:
Prop 5.5.6. -equiv. cellular fibration. 如果 isom. then so is .
你应该已经猜到怎么证了: 没错, 在 top. ver. 的 群里也有 Thom-like isom. 然后五引理+归纳即可.