这一章, 讲 non-equiv. 的 -theory.
-dim. var. . 定义 . 由所有 的 张成. 我们也可以在 上定义类似的 .
我们有, 对任意 V.B. ,
对于 , tensor prod. 给出 一个 comm. ring. 的结构. 于是, 由于 由 V.B. 张成, 是 的一个 ideal.
对于 coh. sheaf on an arbitrary var. , irr. comp. of subvar. . 于是
Lemma 5.9.2. , Zar. open and a uniquely determined positive integer s.t. the following equality holds in :
defining ideal of , 只需对 说明即可. 而在这种情况下, 把 coh. 的 pass 到 field 上, 他是一个 f.g. mod. over a field, 于是 free. 于是, 只要取 , 使所有被 invert 的 non-vanish 即可.
一个练习题().
于是其引出如下 prop.
Prop. 5.9.3. (Devissage) Let be a coh. sheaf on an alg. var. s.t. and let be all the -diml irr. comp. of . Then we have and in the -gp.
于是, 称这个 为 在 上的 multiplicity. 且 称作 的 support cycle in BMHomology.
他提到了一个有点意思的事情, 就是这玩意其实没什么用. 具体的原因是, 不同的 orbits 一般拥有不同的 dim.
Prop 5.9.5. rank v.b., trivial -diml v.b. on . Then tensor prod. by induces a nilp. operator on ; more precisely we have
as an endom. of .
这个直接 follows from lemma. 我们可以选取某 open , . 于是 将 映至 .
定义 为 BMHom. 中所有由 fundamental classes of all -diml alg. subvar. 张成的 subvar. 称 spanned by alg. cycles if . 注意在这种情况下, 奇数维 homology vanish.
Prop 5.9.7. The Chern char. map induces, for each , a surj. morph.
注意, Chern char. 仅对 embedding into smooth ambient 有定义. 我们现在 fix 一个这样的 embedding.
Theorem 5.9.9. (Hironaka) Any irr.cpx.alg.var. has a resol. of singularities, that is, there exists an irr. smooth alg. var. and a map s.t.
(1) birational isom. i.e. there is a Zar. open dense subset s.t. open dense and the restriction is an isom.
(2) is proper.
这是一个代数几何结论. 我们利用它给出 Prop 5.9.7 的证明.
我们对 进行归纳. 对 , triv. 若对于 成立, 对于 , 考虑 coh. sheaf, -diml irr. comp. of . 于是, 根据 5.9.3, 有
于是, 欲证 , 我们只需证 . 而直接 follows from 5.8.13(i).
于是, 其 induces 了
于是, 如果我们证明了 $\operatorname\ast {ch}_\ast $ 的 complexification 是 surj. 的, 我们便完成了归纳证明.
而, 我们有如下性质:
Lemma 5.9.13. The map (5.9.12) is given by the assinment: .
现在, 我们给出 5.9.13, together with 5.8.13(i) 的证明. 你可以看出, 5.8.13, 就不仅仅是 Springer 的范围了. 它打开了 Deligne-Lusztig 的大门()
对于 , 考虑 resol . 定义 proper. 有, 在 中,
于是, .
由于, 对于 smooth mfd, 有 . 于是, 我们希望说明
对于 , 考虑 , Todd classes of the corresp. smooth var. 熟知 . 根据 Riemann-Roch 5.8.14.
于是,
得证.
Cor 5.9.16. The assignment can be extended additively to a well-def. homo. .
Cor 5.9.17. The above defined homom. "supp" commutes with specialization.
后面的 Remark 是说, 对于 , 的 dim- irr.comp. 构成 . 的一组基. 于是, 实际上我们有 isom. of abelian gps.
现在, 记 for .
Theorem 5.9.19. Let cellular fibration. Suppose spanned by alg. cycles and the Chern char. map
is an isom. Then is spanned by alg. cycles and the Chern char. map
is also an isom.
Lemma 5.9.20. Suppose we have where is a closed embedding. Then if and are spanned by alg. cycles then so is .
Pf. of lemma:
由于偶数维 全部 vanish, 我们总有 exact seq.
于是, 我们有 comm. diag.
这之中, 是surj. 这是因为 中的 cycle 由 中的 cycle 限制得到. 于是, 通过追图, 我们可以得到 是surj.
Pf. of Thm.
第一步, 说明 .
对于 , it holds. 于是, 通过 Thom, 这个对 affine bundle 成立.
现在考虑 induction on fibration. 我们有 s.e.s.
于是, . 由归纳成立.
第二步, surj, 通过 Prop. 5.9.7 和 Lemma 5.9.20 (以及 Thom.), 由归纳成立. 于是, 由于维数相同, 其为 isom.
下班!
热似你爹了.