晚安 代数tv
接下来, 就是喜闻乐见的 Koszul cpx. 这一章也讲 Thom Isom 的东西.
在这里, 考虑 -equiv. vector bundle, 一个 section. 于是, 我们可以给出来 的一个 resolution.
考虑 次 exterior power. 定义
为此, 考虑 Euler vector field on 由 $\mathbb{C}^\ast $-action 生成. 为此, 考虑 为 over 上的 relative -form. 我们有 Koszul complex
是 restrict to section, 是跟 的 contraction. 在 local basis 的角度讲, 考虑 , 有 , 就是 given by
Prop 5.4.5: 上述 complex exact, 于是在 Grothendieck gp. 里我们有
现在, 对于 vector bundle , , 利用 的 Kozul resol., 我们定义 为如下 complex 的 alternating sum
Lemma 5.4.9: , 于是
第一部分我还没太想懂, 第二部分是由于 Proj. formula
在这里取 然后利用第一部分有 ,得到其每一项同构于 . 而这恰好是 support on zero section 的部分. 在 上考虑, 可以得到其就是 .
Prop 5.4.10. -equiv. closed embedding of a smooth -var. as a submfd. of a smooth -var. . Then the composite map is given by .
Cor 5.4.11. -equiv s.e.s. of vector bundle on , we have .
Prop 5.4.10 的证明就先省略了() 我来写一下 5.4.11 的证明.
考虑
实际上, 在 中的 normal bundle 就是 . 于是, 根据 Prop.
有
而, .
然后把 5.4.10 的证明跳过了之后, 就是关键定理了: 考虑 -equiv. affine bundle on .
Theorem 5.4.17. (The Thom isom. thm.). For any the morph. is an isom.
也许这个定理的证明也会跳过, 谁知道呢.