我现在满脑子都是
🍋那一天的忧郁 忧郁起来💪💪💪
🍋那一天的寂寞 寂寞起来💪💪💪
连同着迷这个😡炎炎夏日☀万般滋味🔥那个你🥵
可能人类饮食的发展就注定了, 人总是会被石吸引.
Beyond, 这词比我日推里的某些缺乏职业道德的古风歌曲都晦涩难懂.
↑当然不是说我 description 里的那首. 那首是我爹.
开工!
fix , 我们现在来考虑 , 线性空间 . 考虑 -step partial flag given by seq. . 不难看出 包含连通分支 , with
每一个 在 中选取.
好, 你可以看出这些 argument 有点像 3.x 里面的 论断. 那, 我们自然地想去搞 . 我们定义 , .
于是, 有 natural morph . 比较容易看出, 这个 commute with 其上自然的 -action.
我们有这样的prop, 可以看出他几乎可以 follows by arguments of flag var. case
Prop 4.1.2: There is a natural -equiv vector bundle isom
making the map into the canonical proj .
给出了 , .
下面这个定理是从 Spaltenstein 的文章 The fixed pt. set of a nilpotent transf. on the flag mfd. 中来的
Lemma 4.1.3: , then (原文这里是 typo) is a conn. var. of pure dim. and
证明略去. 提一嘴, 这个证明并不能直接通过 3.3.25 的类似方法完成. 哲学上讲, 这是因为 parabolic subgp 与 Borel subgp 不一样导致的().
Lemma 4.1.4: -diag orbits on is finite.
这是因为我们有 surj. -equiv map .
. 现在, 我们可以定义
Prop 4.1.6: is the union of conormal bundles to all -orbits in .
Cor 4.1.7: , in particular
a) is an associate alg with unit.
b) is an -mod, for any .
注意, 和 有一个本质区别: 前者不是联通的, 且 和 的 irr comp. 的 dim 可以变化非常大. 但, 根据 4.1.6, 我们依然有
Cor 4.1.8: irr. component of contained in for the -step partitions of , then
それから, 我们要 , 热血在燃烧!
有一个问题是, 没有统一的 over . 我们考虑所有 irr. component 对应的 fundamental classes 构成的 之子空间 , 以及 构成的 之子空间
Cor 4.1.10: 是 的 subalg.
这是因为, 每一个 fundamental classes, 根据 4.1.8, 都是 middle dim 的. 以及
Prop 4.1.11: is an -stable subspace of .
Follows from 4.1.3.
我们的 main theorem 是,
Theorem 4.1.12: There is a natural surj. alg. homo.
4.1.13 是说, 这是想复刻 . 但我们做不到这么好: 前者是无穷维的, 而后者拥有有限 irr comp.
我们想要给出证明: 注意接下来这些实际上就接近几何表示论的 argument 了.
我们 Set 所谓的 Chevalley generators . 熟悉 Kac-Moody argument 的人应该很快能将它对应到, 比方说, 矩阵上. 他们 generate 了 .
我们要将它几何地对应到 里. 考虑
首先处理 , 对于 diag subvar. , 我们考虑
这里的 by 先前的
我们记 为所有 的 次 partition. 我们可以将这个 partition 真的想象成一个 partition, 也就是说, , 将 分割成 . 我们定义 maps
他这个 是传说中的 "ghost" partition, 一个盘旋在这些 partition 上的符号. 对于 , 定义
如果这些 mapping 把某个 或是 变到了 , 那么我们定义其为这个 ghost partition.
对于 , 如果 (resp. ), 我们定义一个 与 的 subset as follows:
可以发现, 确实是 closed under 的, in particular, 他是一个 single -orbit in .
现在, 对于 , 有 恰等于 that switching the order of factor. 也就是说,
我们 write transpose, 同样的 transpose to .
于是我们给出
你可以看出后者实际上就是前者的 transpose. 这个就给出了整个 . 我们在后面会给出他 uniquely extended to surj hom. 的证明. 但在现在, 我们先看一下他的性质.
Prop 4.1.21: (a) f.d., s.s. associative alg. with unit.
(b) and isom as -mod iff conj. by .
(a) trivial. (b) the "if" side is trivial, only if side holds by 4.1.23.
Remark 4.1.22 是说, s.s. 的性质是一个很几何的性质, 等到第8章才会讨论.
Theorem 4.1.23: The collection as runs over representatives of the -conj. classes in is a complete collection of the isom classes of simple -mods.
这就是 3.5.7. 回忆 CG饲养日记-其六, 实际上
3.5.6 by 4.1.21.(a). 3.5.5 是因为 是一个 anti-involution that compactible with anti-involution on , by 前面那个 transpose 的论断.
我们有这个 anti-involution . 证毕.