GOGOGO, CG6!
开局是, Flag var. 上的 equiv -theory.
Borel subgp. unip. radical. 于是, 对于所有 Borel subgp, canonically isom. to each other, 记为 , with Lie alg. .
Thm 6.1.2. (a) is a free graded -mod with a -equiv. isom.
(b) simply conn. Then free -mod. Moreover, there is a -isom
注意 (a) 并不需要 s.c.
而, 根据 Chevalley, 我们有
Thm 6.1.4. Restriction to a max. torus gives rise to canonical alg. isom.
Cor. 6.1.5. s.c., 有 canonical alg. isom.
特别地, 对于 simply conn, 是 的 free mod.
而, 有
Lemma 6.1.6. There is a can. alg. isom. .
这个是根据
因此, 是一个 free -mod.
6.1.9 的 conventions, 给出了 , 以及 Weyl denominator 的定义. 会者不难.
现在, 考虑 上的 -equiv. bundle. 我们知道它同构于 . 也就是说, 对于任何一个 , 我们可以给出一个 -equiv. line bundle .
ground to earth 的定义就是 . 对于 open, 是一个 regular -valued function on s.t.
with .
而, 更 conceptual 的定义是, 对任意的 , 在 处的 fiber 是 -diml v.s. .
容易看出这俩东西是同构的. In particular, ground to earth 定义下给出的 与 的选取无关.
此外, 考虑 line bundle, 由于 一维, 显然其 factor through . 于是, 其 given by .
Moreover, additively 给出了 alg. homo. .
他与 f.d. simple -mod 的关系是什么呢? 对于每一个 anti-dominant 的 , 总存在一个 f.d. irr. repn. with highest weight , with 在其作用下有一个唯一的 stable line , with .
而实际上, 对于这样的 irr. f.d. mod , 由上面的选取我们给出了一个 alg. mor.
而, 我们现在定义 , with tautological line bundle on , with fiber at each is itself.
现在, 对于 non-deg, 也就是说, 对每一个 coroot 的 pairing 都有 strictly negative 的 value. 我们有 是一个 embedding, in particular, 他就是我们在[故事开始的地方]定义的 Plucker embedding.
现在, 考虑 non-deg., in particular, 他是 positive 的. 于是对于 line bundle, 考虑 regular global sections, 其上拥有一个 f.d. rational -mod 结构. 在前面那个 语境下, 这个 action given by
现在, 考察 (w.r.t. chosen ) longest element, 他将 dominant weights 打到 anti-dominant weights. 有
Lemma 6.1.15. dominant, 于是 simple -mod. with highest weight , with .
这个是因为 在 中 Zar-open, 于是, 对于某个 global section, 我们只需要在 上决定他的行为. 我们有所有 eqn. 都是满足 .
显然, (up to scalar) 仅存在一个 , 他在 -做作用下不变. 不难验证, 对于 , 有 . 于是, 如果 非零, 他一定同构于 . 而这个非零是 (某种程度上) 通过 Borel-Weil-Bott 给出的.
Weyl char. formula, F老师最重要的李代数理论()
BWB 实际上给出来了, 对于 dom. vanish for all , 以及这个 implies 了 的 nonvanishing. 而, 在 K-theory 的 pov, 有 .
Cor. 6.11.7. i.e. the virtual char. of -action on is given by the Weyl char formula:
where length, RHS 视为 的 element.
这个只需对 regular 说明. 在这种情况下,
而, 这种情况下 是 points! 我们只需要对 阶 coh. 说明就行. .
现在, 我们要考虑 在每个 -pts 上的表现. 由于对已经 fix 的 , 我们有 . 因此, 我们有 . 而在 中, 每一个 都是 维 with eigenvalue 的. 那么我们有 .
而, 通过一个简单的 Weyl gp.上的计算, 我们有
而, 在 上, 拥有 eigenvalue . 我们得到
完成了证明.
现在, 我们可以给出如下 flag var. 的 Kunneth formula, cf. 5.6.1.
Prop 6.1.19. (a) Externel tensor. induces 了 can. isom.
(b) conv. in -theory yields an alg. isom.
这个只需要证明 pairing .
这个 pairing 是 given by , 也就是说,
with , 视为 中的元素.
Steinberg 指出, 上存在一组 基 s.t. 对于 , .
我们只需说明, . 而, . 换句话说, 就是 可以看做 , with diagonal with elements .
于是, . 得证.
而, 在下一章我们会看到 是一个 -mod with rank , 而 是一个 -mod with rank , 于是根据 5.6.1.(d), 得证.
Thm. 6.1.22. simply conn, then the natural restriction map gives rise to isom.
(a) ,
(b)
这是因为, 首先由于 solvable, 我们有 . 于是, 由于 , 我们有 isom.
现在, 运用 Kunneth formula, 我们有 isom
也就是 (a), 由于 . 而由于 , 我们有
也就是 (b).
终于更出来了kk, 最近忙于 Achar, 快把 CG 全忘了kk.