好的, time to Main
Set-up 是, $G$ comp. s.s. s.c. gp. $\mathfrak{g}$ Lie alg. $\mu:\tilde{\mathcal{N}}\to\mathcal{N}$, 有 $\tilde{\mathcal{N}}\simeq T^\ast \mathcal{B}$
而这个实际上, 去考虑 $Z_\Delta\subset \tilde{\mathcal{N}}\times\tilde{\mathcal{N}}$, 他在 $\tilde{\mathcal{N}}\times \tilde{\mathcal{N}}\simeq T^\ast (\mathcal{B}\times\mathcal{B})$ 下给出 isom.
\[Z_\Delta=T^*_{\mathcal{B}_\Delta}(\mathcal{B}\times\mathcal{B}).\]这便给出了
\[K^G(Z_\Delta)= K^G(T^*_{\mathcal{B}_\Delta}(\mathcal{B}\times\mathcal{B}))\simeq K^G(\mathcal{B}_\Delta)\simeq R(T).\]第一二个等号是利用 affine fibration 的 Thom 给出的. 而第三个则是利用 6.1.6 的 identification. 回忆一下: 首先将其对应到 $K^B(pt)$, 然后利用 $B$ solvable.
而这便引出了我们的第一个定理
Thm. 7.2.2. There is a natural isom. $K^G(Z)\simeq \mathbb{Z}[W_{aff}]$ s.t. the following commute
此外, 考虑 $A=G\times \mathbb{C}^\ast $, 我们还有 quantized 的版本, $K^A(Z_\Delta)\simeq R(T)[q,q^{-1}]$.
Thm. 7.2.5. There is a natural isom. $K^A(Z)\simeq \mathbb{H}$ s.t. the following commute
如何理解上一章的 $Z(\mathbb{H})=R(T)^W[q,q^{-1}]$ 呢? 对于 $p:Z\to pt$, 我们可以诱导 $p^\ast :R(A)=K^A(pt)\to K^A(Z)$. 当然, 这是一个 alg. morph. given by tensor. 在这里,
\[R(A)\hookrightarrow K^A(Z_\Delta)\hookrightarrow K^A(Z),\]就对应到
\[R(T)^W[q,q^{-1}]\hookrightarrow R(T)[q,q^{-1}]\hookrightarrow \mathbb{H}.\]Lemma 7.2.11. $\mathbb{H}$ is a free $R(T)^W[q,q^{-1}]$-mod. of rank \((\# W)^2\).
这依然是因为 6.1.2.(b) 以及 $G$ s.s. 的条件.
不同的 equiv. K-theory 之间的关系可以如此刻画: 记 $I^{R(T)}$ 为在 $1$ 处 vanishes 的 $W$-inv. function 全体, 有
然后要 quantize 一些东西. 首先, 由于 $W\hookrightarrow W_{aff}$ 我们可以将 $\mathbb{Z}[W]$ 对应到 $K^G(Z)$ 的 subalg. 于是
Prop. 7.2.14. 由上诱导的 $K^G(T^\ast \mathcal{B})$ 的 $W$-作用, 对应到 $R(T)$ 上的 canonical $W$-作用.
Cor. 7.2.15.
\[\mathbb{Z}[W]\hookrightarrow \mathbb{Z}[W_{aff}]\overset{\sim}{\to} K^G(Z)\to K(Z)\to H(Z)\overset{\sim}{\to}\mathbb{Z}[W],\]is id.
Thm. 7.2.16. $K^A(T^\ast \mathcal{B})$ 的 $W_{aff}$-作用, given by
\[\hat{T}_{s_\alpha}: e^\lambda\mapsto \frac{e^\lambda-e^{s_\alpha(\lambda)}}{e^\alpha-1}-q\frac{e^\lambda-e_{s_\alpha(\lambda)+\alpha}}{e^\alpha-1}.\]当然这个东西也是 Lusztig 搞的.