Equivariant Hilbert polynomial.
要 introduce 一个 generalization of the Hilbert polynomial.
故事的开头是 , , . 然后是 spectrum. 我们总考虑 -action 是 contracting 的 s.t. lies in an open half-space of real v.s. . Fix , 考虑 .
熟知 是一个 ring contains as subring.
考虑 的 case, , 就是一个熟知的例子.
现在, 一个 f.g. -mod 被称作 -equiv. 的, 如果存在一个 -action on s.t.
由于 在 上的作用是 alg. 的, 于是是 s.s. 的, 我们存在 decomp. .
现在, 我们可以定义 character
.
首先, 对于 -equiv. coh. -sheaf, 可以实现成一个 -equiv. var.
Lem. 6.6.4. 我们有 equality .
于是
Cor 6.6.5. free -equiv. rank 1 -mod. with generator of weight . Then
Prop. 6.6.6. For any finitely gen. -equiv. -mod. , there is finitely many and s.t. we have
于是, 我们定义 as an element of . 我们可以在 equiv. 理论中给出如下 interpretation: 考虑
pullback w.r.t. zero embedding .
Claim 6.6.8. 对于 , .
这是因为对于 free sheaf, pull back 也就是 restrict to . 因此 . 而, 由于 $i^\ast $ 是 -mod. homo.
得证.
现在, 对于 , 我们 regard as a regular function on , 然后将其 pull back 到 上, 我们得到,
homog. poly. on of degree .
Defn. First nonvanishing is called the equiv. Hilbert polynomial of the mod. , denoted by .
对 $T=\mathbb{C}^\ast $ 的版本, 这个 defn. 转化为 Hilbert poly. 的 std. defn.
而, 对于 -equiv. coh. sheaf, 我们记 . 对于 -stable closed subvar, 记为 对应的 Hilbert poly.
本章的主要目标是如下定理:
Thm 6.6.12. Let be a -equiv. coh. sheaf on and cpx. dim. of. the support. of . Then
(i) is a homog. poly. of degree .
(ii) If are the -dim. irr. comp. of , then
现在, 对于 smooth proj. var. line bundle on s.t. the first Chern class represented by a Kahler -form on i.e. pullback of by proj. embedding . 于是, 对于 of dim 我们定义 and for . 回忆 , and .
Lemma 6.6.13. Assume is a coh. sheaf on and . Then we have a forma power series identity
where polyn. of degree s.t. .
这是因为, 根据 Riemann-Roch
表示 的direct image, 以及 homological Chern char. 于是, 右侧只有 degree 的部分对 RHS 有贡献. 根据 5.9.13,
于是
然后通过
Lemma 6.6.17,
有 powerseries identity
with polyn. of deg. s.t. .
得证.
Lemma 6.6.18. f.d. $\mathbb{C}^\ast $-equiv. -mod. with weight space decomp. . Then the $\mathbb{C}^\ast $-equiv. Hilbert polyn. is a polyn. on of the form
有
而我们知道
于是, 是由考虑 并取 first nonanishing term 给出的. 计算可得
得证.
现在, back to thm. 总共分三步: reduce to $T=\mathbb{C}^\ast $, 然后 reduce to a weighted projective space, 最后在 proj. space 上做.
第一步: 对于 dominant i.e. greater than for each . 那么, 当我们 view as $\mathbb{C}^\ast $-mod by , 我们有
从上述的 formula 可以看出, 欲证原定理, 只用对一个 "generic" 的 s.t. 互素证明即可. 因此我们完成了 reduction.
注意, 在这样的 generic 下, 上的 $\mathbb{C}^\ast $ 作用是 free 的.
Step 2. reduction to a weighted proj. space.
考虑 $\mathbb{P}_{\mathbb{C}^\ast }:=(V\backslash{0})/\mathbb{C}^\ast $ well-def. var. weighted proj. space. 我们有 确实是一个 proj. var, for weights are positive and action is contracting. 以及, 的 singularities 是 "mild" 的. 我们可以在其上运用 ordinary Riemann-Roch.
于是, line bundle on . -th tensor power of the dual bundle on . 我们有 graded alg. isom.
现在, 对任意 $\mathbb{C}^\ast $-equiv. coh. sheaf on , 我们存在 s.t. . 定义 以及 -graded v.s.
今天先写到这.
毕其功于一役?
natural pairing 给出了 上的 graded -mod. 结构. 对任意 , 的 degree n 元素给出了到 的一个 restriction. 于是给出了
于是我们有 -term exact seq.
这个就给出了
而, 将 分解成 和 的两部分, 实际上给出了 . 也就是说,
Claim 6.6.23. -mods are all f.d.
证明跳过()
Step 3. 对于 , 定义
有 , 而对于 , 拥有 -mod structure. Moreover, 有 for all .
于是, 将 分解成 和 , 有
以及
现在, 由 6.6.13.
也就是说,
欲证 Thm 6.6.12, 先 assume , 于是 f.d. 于是根据 6.6.18 我们知道 of degree , (i) 得证. 至于 (ii), additive on the subcat. of $\mathbb{C}^\ast $-equiv. sheaves supported at the origin.
现在, 对于 的情况, 取 , 有 , 于是 , 于是, 根据上述式子与 的方程, 我们有
现在, 计算 Hilbert polyn., 我们 put . 于是, 由于 , the first non-vanishing term of
occurs in degree . 但 occurs in order . 于是, first non-vanishing term 出现在 degree , finishes the proof.
而 (ii) 的部分, 则是在 的式子中, 考虑 为 . 于是, compare terms on RHS, 我们得证.
终于写完了,,,
看得出来我很不想写这个证明() 也没看明白
当做 black box 我觉得也没啥问题,,
下班!