我回来了, 没想到吧
Hecke alg. 和 K-Theory
, . 我时至今日依然不知道哪个是 :(
然后是, root sys, dual root sys. 有 bij. 使得
-
,
-
,
-
.
在这里, 我们开始忘掉第三章的 记号, 转而用 表示抽象的 weyl gp. 或 torus. 现在, 我们对 给出 Hecke alg.
Defn. The Hecke alg. of is given by -alg, given by
(i) ( factors)
(ii) .
很诡异的定义, 不管看多少次都是这种感觉.
首先 的情况, 他就是 的群代数 (with 系数).
其次, 他当然有比较好的刻画:
Prop 7.1.2. admit 一组基 , with for all .
然后, 我们定义 so-called affine Weyl by , with naturally.
当然, 实际上从 Kac-Moody 的角度来看, affine case 的 Lie alg. 的 Weyl 确实长这样. 当然, 实际上你仔细去 check 定义的话, 他其实是 , where . 有一些微小的差距
不过这不重要)
我们称 是 simply-conn. 的, 如果 张成 .
Claim 7.1.5. 对于 simply conn. root sys. basis in s.t. .
现在, 我们只考虑 s.c. 情况的 s.s. gp.
我们已经在很早很早的时候就确立了 . 考虑 到 的嵌入我们得到
那么, 我们就可以定义 affine Hecke:
Defn 7.1.9. Affine Hecke 是 free -mod. with basis s.t.
(1) 之间的关系形如 .
(2) 之间的关系形如 .
(3) ,
(4) .
这确实是一组不知道 well 不 well-def. 的运算关系. 但是, 其实 (3) 与 (4) 的定义等价于说如下的生成关系.
Lemma 7.1.10. simple, then ,
这个定理也是比较容易看出的: 注意 与 交换, 只用把 分拆成一堆 w/. .
此外, 根据 , 我们有 -module isom.
当然, 他不是 isom of alg.
然后, 在本章的最后, 我们有
Prop. 7.1.14. .
首先, 说明 , 这个直接对生成元验证即可. 有趣的部分在于验证 . 这是通过 Lusztig 的一个操作. 首先, 考虑 given by evaluation , 我们得到 . . 但显然 , 我们构造了
此外, noetherian, 根据 6.1.2, f.g. -mod. 于是 f.g. over , f.g. over .
你可能会注意到我没有说明 是 maximal ideal: 这是我对CG上叙述比较困惑的一个点: 不论在 还是 或者 中, 都不太该是一个 maximal ideal. 当然不能直接运用 Nakayama. 但我们也有一个办法绕过他, 就是在上述 argument 中考虑 . 那么 就是 maximal 的了. 于是, .
但是, 显然 , 我们最终得到 . 得证.
下班!