量子群讲座

无可奈何听不懂

过来写CG

回顾我们有 $\epsilon:H(\Sigma)\to \mathcal{H}^d$, 他的 image, denoted by $\mathcal{H}(\mathbb{O})$, 有一组由 $\Sigma$ 之 irr. polyn. 构成的 distinguished basis. 对于 $\mathbb{O}\cap\mathfrak{n}$ 的 comp. $\Lambda$, 记 $\Sigma_\Lambda$ 为其对应的 $\Sigma$ 的 comp.

现在, 考虑 $\overline{\mathbb{O}\cap \mathfrak{n}}$, 考虑 $\bar{\Lambda}$, 他是 $B$-stable 的, 因此是 $T$-stable 的. 记 $P_\Lambda$ 为 $T$-equiv. Hilbert Polyn. $Comp(\mathbb{O}\cap\mathfrak{n})$ 为 $\overline{\mathbb{O}\cap\mathfrak{n}}$ 的 irr. comp. 构成的 set.

fix $x\in\mathbb{O}\cap\mathfrak{n}$, $d=\dim_\mathbb{C}\mathcal{B}_x$. 我们有如下关键定理:

Thm. 7.4.1. The equiv. Hilbert polyn.

are homogeneous $W$-harmonic poly. on $\mathfrak{h}$ of deg. $d$. Moreover, for any $\Lambda$, $P_\Lambda$ proportional to $\epsilon(\Sigma_\Lambda)$. In particular, Hilbert. polys. form the distinguished basis of v.s. $\mathcal{H}(\mathbb{O})$.

考虑 $\mathbb{C}^d[\mathfrak{h}]$ v.s. of deg. $d$ homogeneous polys. on $\mathfrak{h}$. $I^{\mathbb{C}[\mathfrak{h}]}$ $W$-inv. polys. without const. terms. 有 natural proj.

欲证 7.4.1. 我们需要如下两条引理

Prop. 7.4.3. For any $\Lambda\in Comp(\mathbb{O}\cap\mathfrak{n})$,

Prop 7.4.4. ${P_\Lambda}$ span a $W$-stable subspace in $\mathbb{C}^d[\mathfrak{h}]$.

recall 对于 $T$-equiv. coh. sheaf $\mathcal{M}$ on $\mathfrak{n}$, 考虑其 formal char.

$\chi_{\mathcal{M}}$ 是一个 function on $T$, 于是我们可以将其拉回 $\mathfrak{h}$ by exponential. 于是, 我们给出了 well-def. gp. homo.

记 $I\subset \mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]$ ideal consisting of formal power series without const. term. 我们自然给出了 $I$-adic filtration $\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]=I^0\supset I^1\supset I^2\supset \cdots$. 于是, 6.6.12 给出了如下结论:

Claim 7.4.6. $\chi$ takes $\Gamma_qK^T(\mathfrak{n})$ to $I^{n-q}$, for any $q\geq 0$.

由于我们始终有 $\dim(\mathbb{O}\cap \mathfrak{n})=\dim\mathfrak{n}-d$, 根据 7.4.6. 我们有 homo.

而, 另一方面我们考虑 $\overline{\mathbb{O}\cap\mathfrak{n}}$ 我们给出了 comm. diag.

于是, 考虑到根据 restriction, 我们能自然地诱导 $K^G(G\times_B -)=K^B(-)=K^T(-)$. 有

现在, 我们记上下为 $\Psi_{top}$ 与 $\Psi_{bot}$. 根据 6.6.8, 我们有 $\Psi_{bot}=\chi$. 于是, $\operatorname{im}{\Psi_{bot}}$ contained in $I^d$. (lemma 7.4.10)

现在, 考虑 $I^k/I^{k+1}\simeq \mathbb{C}^k[\mathfrak{h}]$, 有

$I^k/(I^{k+1}+I^k\cap\mathcal{I})\simeq \mathbb{C}^k[\mathfrak{h}]/\mathbb{C}^k[\mathfrak{h}]\cap\mathcal{I}\simeq H^{2k}(\mathcal{B})$ by 6.4. 回忆 $\mathcal{I}=\mathcal{I}^{\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]}$ augmentation ideal of $\mathbb{C}[[\mathfrak{h}]]^W$. 而我们有 $\Gamma_{n-k}K(\mathcal{B})\to \oplus_{p\geq k}H^{2p}(\mathcal{B})$, 在上述 setting 下, 后者 corresp. to $I^k/I^k\cap\mathcal{I}$.

接下来我们要做的工作就是证明 7.4.3, 7.4.4. 并以此证明 7.4.1. 但这每个证明都长得很. 为此, 我只大概 sketch 一下证明梗概. (我相信你能够在接受这个梗概之后很快地从原书中了解具体证明)

7.4.3. 是说,

首先说明, 先将 $K^G(\Sigma)$ 打到 $I^d/I^d\cap \mathcal{I}$, 再 proj. 到 $H^{2d}(\mathcal{B})$, 与先 proj. 到 $H(\Sigma)$, 再通过 $i^\ast j_\ast $ 加上 Poincare dual 打到 $H^{2d}(\mathcal{B})$ 的两个映射 coincide. 而这个说明这个相对简单: 只要找到合适的中间 object 即可. 最终我们能够填出一个 $3\times 4$ 的 diag., 就不搬上来了()

现在, 考虑 $\Sigma_\Lambda$ irrcomp. 于是根据 7.4.10, 我们得到交换图

而, $\mathcal{O}_{\Sigma_\Lambda}$ 在上侧先打到 $\mathcal{O}_{\Lambda}$, 再对应到 $P_\Lambda$. 而在左侧箭头, 其先对应到 $[\Sigma_\Lambda]$, 再打到 $\epsilon(\Sigma_\Lambda)$. 因此原命题成立.

7.4.4 则是说 $P_\Lambda$ 生成的空间是 $W$-stable 的. 为此, 我们现在考虑 $\Phi_{top/bot}$ 为对应的 $\Psi_{t/b}$ 复合上 $I^d\to I^d/I^{d+1}$. 于是, 我们只用说明 ${\Phi_{bot}(\mathcal{O}_\Lambda)}$ 张成的空间是 $W$-stable 的. 而, 考虑 $Z$ 在 $\Sigma$ 或 $T^\ast \mathcal{B}$ 上的卷积作用, 我们得到了 $K^G(\Sigma)\to K^G(T^\ast \mathcal{B})$ 与 $K^G(Z)$ 的作用交换. In particular, 与 $W$ 的作用交换. 根据 7.3.31(ii), $K^G(T^\ast \mathcal{B})\to K^G(\mathcal{B})$ 与 $W$ 的作用交换. 而由 6.1.11, 我们直接有 $K^G(\mathcal{B})\simeq R(T)$ 与 $W$ 交换. $\exp^\ast $ 与 $W$ 交换是 trivial 的. 因此, $\Phi_{top}$ comm. with $W$-action, 于是 $\operatorname{im}(\Phi_{top})$ $W$-stable.

最后, 回到 7.4.1. 我们有 $W$-map $K^G(\Sigma)\to \mathbb{C}^d[\mathfrak{h}]$. 而, 这个 morph. 恰对应到在 7.4.3 的证明中的 diag. 的 top row. 而其 factor through $res\circ\chi$. 这个 map completely determined by values on structure sheaves of irr comp. 因此, 其 descends to $W$-equiv. linear map $\bar{\Phi}:H(Z)\to \mathbb{C}^d[\mathfrak{h}]$.

由于我们有 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]=\mathcal{H}\oplus\mathcal{I}$. 我们可以按照像集构造

由于 $proj\circ \Phi_I=0$, 有 $proj\circ \Phi_{top}=proj\circ \Phi_{\mathcal{H}}$. 于是根据 7.4.3, $proj\circ \Phi_{\mathcal{H}}=proj\circ\epsilon$. 但这个 $proj$ 限制在 $\mathcal{H}^d$ 上是 isom. 因此 $\Phi_{\mathcal{H}}=\epsilon$.

而对于 $\Phi_{\mathcal{I}}$, compose with $\phi:H(\mathcal{B}_x)^{C(x)}\overset{\sim}{\to} H(\Sigma)$. 有 $\Phi_x’:H(\mathcal{B}_x)^{C(x)}\to \mathbb{C}^d[\mathfrak{h}]\cap \mathcal{I}^{\mathbb{C}[\mathfrak{h}]}$. 注意 $\Phi_x’$ $W$-equiv. 我们有其 image $W$-space. 但左侧 $H(\mathcal{B}_x)^{C(x)}$ 是一个 irr. repn. 由于 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]\simeq \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W\otimes \mathcal{H}$, $\mathbb{C}^d[\mathfrak{h}]\cap\mathcal{I}$ 的 simple $W$-mods 只 occurs in $\mathcal{H}^i$. 根据 6.5.3, $H(\mathcal{B}_x)^{C(x)}$ 不会 occurs in $\mathcal{H}^i$ for $i<d$. 因此 $\Phi’_\mathcal{I}$ vanishes. 于是 $\Phi_{\mathcal{I}}=0,\bar{\Phi}=\Phi_{\mathcal{H}}=\epsilon$. 得证.