然后是 8.2.
脑袋痛痛, 再不结束感觉真要把我顶4了qaq
回忆 $\mathbb{H}$ affine Hecke, 我们有 $R(T)\subset \mathbb{H}$, with $\mathbb{Z}$-basis ${e^\lambda}$.
在这里, 考虑 ${\mathcal{B}_j}$ collection of connected components of $\mathcal{B}^s_x\subset \mathcal{B}$. 由于 $C\circlearrowright{\mathcal{B}_j}$ as permutation, 对于 $g\in C(s,x)$ preserves $\mathcal{B}_j$, 我们可以考虑 $l(g,\mathcal{B}_j)=\sum_{q}(-1)^q\cdot \operatorname{Tr}(g:H^q(\mathcal{B}_j)\to H^q(\mathcal{B}_j)) $ Lefschetz number. 对于 $\mathbb{T}=B/[B,B]$, 我们可以 identify $\lambda$ 为 $\mathbb{T}$ 的 character canonically. 于是, 我们有如下 char. formula:
Theorem 8.2.1. The char. of the restriction to $R(T)$ of the std. mod. $K_{a,x,\chi}$, is given by
\[\operatorname{Tr}(e^\lambda;K_{a,x,\lambda})=\frac{1}{\# C(s,x)}\cdot \sum_{\{\text{components}\}\mathcal{B_j}}\sum_{\{g\in C(s,x)|g\cdot \mathcal{B}_j=\mathcal{B}_j\}}\chi(g)\cdot l(g,\mathcal{B}_j)\cdot\langle \lambda,s\rangle_j.\]本章的剩余部分就是证明这个工作. 但是, 当然我懒得复述这个工作了, 所以, 我希望介绍一下他在干些啥.
嘛, 首先, 由于 $H_\cdot(\mathcal{B}_x^s)=\oplus\operatorname{Ind}^C_{C_j}H_\cdot (\mathcal{B}_j)$. 根据 Frobenius, 我们可以将 $(\chi,\operatorname{Ind}^C_{C_j}H_\cdot (\mathcal{B}_j))$ 转化到 $(\chi|_{C_j},H_\cdot(\mathcal{B}_j))$. 于是,
\[\operatorname{Tr}(e^\lambda;K_{a,x,\chi})=\sum_{\{C\cdot \mathcal{B}_j\}} \operatorname{Tr}(e^\lambda;\operatorname{Hom}_{C_j}(\chi|_{C_j},H_\cdot(\mathcal{B}_j))).\]往前溯源一下 $e^\lambda$ 在 $H_\cdot(\mathcal{B}_j)$ 的作用, 通过一堆令人绝望的讨论, 我们最最最终能得到
\[\operatorname{Tr}(e^\lambda;V)=\langle\lambda,s\rangle_j\cdot\dim V.\]于是, 由于
\[\dim\operatorname{Hom}_{C_j}(V_1,V_2)=\frac{1}{\# C_j}\sum_{g\in C_j}\operatorname{Tr}(g;V_1)\cdot \overline{\operatorname{Tr}(g;V_2)}=\frac{1}{\# C_j}\cdot\sum_j\left(\langle\lambda,s\rangle_j\cdot \sum_{g\in C_j}\chi(g)\cdot \operatorname{Tr}(g;H_\cdot(\mathcal{B}_j))\right).\]而, $l(g;\mathcal{B}_j)$ 由于 odd degree vanished 的性质, 可以 identify 到 $\operatorname{Tr}(g;H_\cdot(\mathcal{B}_j))$. 完成了证明.