fix $G(s)$-orbit $\mathbb{O}\subset \mathcal{N}^a$, 取 $x\in \mathbb{O}$, $S$ transverse slice 以及 $\tilde{S}$. 我们在 3.5.9. 说明了 $\tilde{S}$ 是 $\mathcal{B}^s_x$ 的一个管状邻域, 以及 $\mathcal{B}^s_x$ 是他的一个 retract. 此外, 我们在 3.5.12 证明了我们可以选取 $S$, 使得其 stable wrt $K(s,x)$ 的 adjoint action.
注意 $Z^a\circ\tilde{S}=\tilde{S}$, $H_\cdot(\tilde{S})$ 拥有 $H_\cdot(Z^a)$-module structure. 现在, 选取 $\chi\in C(s,x)^\wedge$, 我们取 $\operatorname{Hom}_{C(s,x)}(\chi,H_\cdot(\tilde{S}))$ 为 costandard $H_\cdot(Z^a)$-mod.
现在, 选取 $\psi:H_\cdot(\mathcal{B}_x^s)\to H_\cdot(\tilde{S})$ 下的 image, 记作 $L_{a,x}$. 我们可以将其分解为 $C(s,x)$-isotypical comp.
\[L_{a,x}=\oplus_{\chi\in C(s,x)^\wedge}L_{a,x,\chi}\otimes \chi,L_{a,x,\chi}:=\operatorname{Hom}_{C(s,x)}(\chi,L_{a,x}).\]现在, 所有的 $L_{a,x,\chi}$ 都拥有 $H_\cdot(Z^a)$-mod. 结构. 我们可以定义 \(\{(x,\chi)\}\) 上的 $G(s)$-conjugate 结构, by $x’=gxg^{-1}$ 与 $\chi’$ given by $\chi$ intertwines with $g$. 于是, 我们有
Thm. 8.1.13. Nonzero $L_{a,x,\chi}$ 与 $L_{a,x,\chi}$ isomorphic iff $(x,\chi),(x’,\chi’)$ $G(s)$-conjugate to each other.
注意: 我们并没有证明其 nonzero 性. 可以想象, 对于 generic 的 $\chi$, 这玩意都会是 $0$. 其非零性的证明要交给 8.8 了.
Prop. 8.1.14. $t$ not root of unity, 有 $L_{a,x,\chi}$ nonzero $\forall x\in \mathcal{N}^a$ and any irreducible repn. $\chi$ of $C(s,x)$ that occurs in the isotypic decomp. of $H_\cdot(B^s_x)$.
此外, 还有
Thm 8.1.15. Any simple $H_\cdot(Z^a)$-mod is isom. to $L_{a,x,\chi}$ for an appropriate pair $(x,\chi)$, where $x\in\mathcal{N}^a,\chi\in C(s,x)^\wedge$.
现在, set $\mathbb{M}$ 为
\[\mathbb{M}=\{a=(s,t)\in G\times \mathbb{C}^*,x\in \mathcal{N}^a,\chi\in C(s,x)^\wedge,s\text{ is semisimple}\}/_{adj.}G.\]我们可以引入本章的最主要定理: Deligne-Langlands-Lusztig conjecure for Hecke algebras:
Thm 8.1.16. $t\in \mathbb{C}$ not a root of unity, then \(\{L_{(a,x,\chi)}\}_{(a,x,\chi)\in\mathbb{M}}\) is a complete collection of simple $\mathbb{H}$-mods s.t. $q$ acts by means of multiplication by $t\in\mathbb{C}^\ast $. Thus, $\mathbb{H}$-mods are parametrized by $G$-conjugacy classes of triples $(s,x,\chi)$ where $sxs^{-1}=t\cdot x$ and $\chi\in C(s,x)^\wedge$, i.e. those with nonzero multiplicity in the repn. $H_\cdot(\mathcal{B}^s_x)$.
而, simple $\mathbb{H}$-mods with fixed central char. 的有限性, 则可以直接由如下 prop 给出.
Prop. 8.1.17. For any s.s. $a\in G\times \mathbb{C}^\ast $, the var. $\mathcal{N}^a$ is a finite union of $G(s)$-orbits.
这个证明大概是这样: 首先引入辅助簇
\[\mathcal{R}=\{(h,x)\in \mathbb{S}\times \mathbb{O},hxh^{-1}=tx\},\]其中 $\mathbb{S}$ 为 conj. class of $s$ in $G$. 然后将 $G(s)\times \mathbb{C}^\ast $-orbits on $\operatorname{pr}_1^{-1}(s,t)=\mathbb{O}^a$ 对应到 $\mathcal{R}$ 上的 $G\times \mathbb{C}^\ast $-orbits 上, 再对应到 $\operatorname{Stab}_{G\times \mathbb{C}^\ast }(n)$-orbits with $\operatorname{pr}_2^{-1}(n)$ 上. where
\[\mathbb{S}\overset{\operatorname{pr_1}}{\leftarrow}\mathcal{R}\overset{\operatorname{pr}_2}{\to}\mathbb{O}.\]然后再 $\operatorname{pr}_2^{-1}(n)$ 上, 利用 $T\cap\mathbb{S}$ finite 的性质, 得到 $G(s)\times \mathbb{C}^\ast $-orbits on $\operatorname{pr}_1^{-1}(s,t)=\mathbb{O}^a$ finite. 最后利用 3.7.6. 得到 $G(s)\times \mathbb{C}^\ast $-orbits 其实就是 $G(s)$-orbits on $\mathbb{O}^a$, 便完成了证明.