cg补完计划
现在开始做一些研究了之后, 感觉也没什么特别的必要去看 CG 了. 取而代之的是有一堆诡异的东西要学. 而这些东西像一座山一样高.
但不管怎么说, 补完这个, 也算彻底完结了一个系列.
重要的.
Recall 我们的 affine Hecke algebra $\mathbb{H}$, 我们这一个 Chapter 要做的事情, 就是去 classify 他的 simple mods.
在 8.1, 我们介绍了 so-called standard $\mathbb{H}$-mods. 然后在 8.3, 8.4, 我们会介绍一下 constructible sheaves. 在 8.5 里, 我们利用 intersection cohomology 来描述其 underlying vector space. 在 8.6, 我们会给出一个 sheaf-theoritic construction, 从而说明其 irreducible, 且所有 irr. 都包含在里面. 而在 8.8, 我们会证明所有这么构造的都是 nonzero 的. 从而完成证明.
在 8.2, 我们会给出 standard modules 的 char. formula. 在 8.6, 我们会利用 ic 的技术给出 expression of multiplicity of simple module. 在 8.7, 我们给出相似的 projective $\mathbb{H}$-mods 的 multiplicity formula. 最后, 在 8.9, 我们会处理一个 special case, 从而给出第三章 Springer representation 的另一个证明.
此外, 在 8.3-8.7, 我们得到的东西是非常 general 的, 而在 8.2, 8.8, 我们要利用一些特别的 affine Hecke 的性质.
Recall $Z(\mathbb{H})=R(G)[q,q^{-1}]=R(G\times \mathbb{C}^\ast )$. 我们可以把他看做 class functions
现在, 我们考虑 $Z(\mathbb{H})\to \mathbb{C}$, 他可以写作 $z\mapsto z(a)$, with $a=(s,t)\in G\times \mathbb{C}^\ast $. 于是我们可以 view $\mathbb{C}_a$ as $Z(\mathbb{H})$-mod. by
\[(z,x)\mapsto z(a)\cdot x.\]现在, 考虑 tensor prod, $\mathbb{H}_a:=\mathbb{C}_a\otimes_{Z(\mathbb{H})}\mathbb{H}$ 为 Hecke algebra specialized at $a$. 根据简单的刻画我们可以得到 $\mathbb{H}_a\simeq \mathbb{H}_{\mathbb{C}}/(\ker Z(\mathbb{H}_\mathbb{C})\to \mathbb{C})$. 特别地, $\mathbb{H}_a$ 拥有 natural $\mathbb{C}$-alg. structure. 有一个简单的性质是, $\mathbb{H}$-mod 是 simple 的 iff 其对应的 $\mathbb{C}\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{H}$-mod. 是 simple 的. 于是, 我们得到
Cor 8.1.2. $Z(\mathbb{H})$ acts by scalar multiplication on any simple $\mathbb{H}$-module.
于是
Cor 8.1.4. $\mathbb{H}$ 在 simple $\mathbb{H}$-mod. $M$ 上的作用, 总 factors through 一个 $\mathbb{H}_a$.
根据 6.2.9, 我们有 $\mathbb{H}_a$ 拥有 complex dimension \((\# W)^2\), 于是有限维. 于是 $\mathbb{H}_a$ 的 simple mod 都是有限维的. 现在, 我们 claim $\mathbb{H}$ 拥有纯粹的 geometric interpertation.
view $\tilde{\mathcal{N}},\mathcal{N},Z$ as $G\times \mathbb{C}^\ast $ with $\mathbb{C}^\ast $ acts by dilation. 对 $a=(s,t)$, 定义 $\tilde{\mathcal{N}}^a,\mathcal{N}^a,Z^a$ corresponding $a$-fixed pts. 由于 $Z^a=\tilde{\mathcal{N}}^a\times_{\mathcal{N}^a}\tilde{\mathcal{N}}^a$, 有 $Z^a\circ Z^a=Z^a$. 现在, 我们可以考虑 BM homology
Prop 8.1.5. 对于 $a=(s,t)\in G\times \mathbb{C}^\ast $ s.s. element, 有 natural alg. isom.
\[\mathbb{H}_a\simeq H_*(Z^a,\mathbb{C}^a).\]这是因为根据我们前面的那一套东西, 有
\[\begin{align*} \mathbb{C}_a\otimes_{Z(\mathbb{H})}\mathbb{H}&\overset{7.2.5}{\simeq}\mathbb{C}_a\otimes_{R(G\times\mathbb{C}^*)}K^{G\times \mathbb{C}^*}(Z)\\ &\overset{6.2(6)}{\simeq}\mathbb{C}_a\otimes_{R(\mathcal{A})}K^{\mathcal{A}}(Z)\\ &\overset{r_a, \sim}{\to} \mathbb{C}_a\otimes K^{\mathcal{A}}(Z^{\mathcal{A}})\\ &\overset{ev, \sim}{\to} K_\mathbb{C}(Z^{\mathcal{A}})\\ &\overset{RR, \sim}{\to} H_*(Z^{\mathcal{A}},\mathbb{C})=H_*(Z^a,\mathbb{C}). \end{align*}\]对于 $a=(s,t)$, $x\in \mathcal{N}^a$, 我们考虑 $\mathcal{B}_x^s$ 为 Borels simultaneously fixed by $s$ and $x$.
Remark 8.1.7. $\mathcal{B}_x^s$ is non-empty.
这是因为 $s$ 和 $\exp(z\cdot s)$ 生成一个 solvable subgp. 而其包含于某个 Borel 里.
于是, 根据 3.5.2, 3.5.3. 的证明, 我们得到
Lemma 8.1.8. $H_\cdot(Z^a)$-action commutes with the $C(s,x)$-action on $H_\cdot(\mathcal{B}_x^s)$. 此外, 对于 $x_1,x_2$ 属于相同的 $G(s)$-conjugacy class in $\mathcal{N}_a$, $H_\cdot(\mathcal{B}_{x_1}^s)$ 与 $H_\cdot(\mathcal{B}_{x_2}^s)$ 为 isomorphic $H_\cdot(Z^a)$-mods.
现在, 考虑 $C(s,x)^\wedge$ set of isom. classes of simple $C(s,x)$-mod. 对于 $\chi\in C(s,x)^\wedge$ 我们定义
\[K_{a,x,\chi}=\operatorname{Hom}_{C(s,x)}(\chi,H_\cdot(\mathcal{B}_x^s)).\]为一个 standard $H_\cdot(Z^a)$-mod.
注意 $H(Z^a)$ 拥有 vanished odd homology. 于是 $H^{ev}(\mathcal{B}_x^s)$, $H^{odd}(\mathcal{B}_x^s)$ 为两个不同的 submods. 因此 $\operatorname{Hom}_{C(s,x)}(\chi,H^{-})$ 为两个不同的 submod. 此外, 有一个 known fact 是 $\mathcal{B}_x,\mathcal{B}_x^s$ odd part vanishes. 因此, odd homology part of std. mod. vanishes.
接下来我们要引入另一个鬼畜的东西: co-standard modules. 这个明天再搞吧.