Hecke alg. of $\text{SL}_2$.
回顾我们的 main thm. 他是说 $K^G(Z)\simeq \mathbb{Z}[W_{aff}]$ 与 $K^{G\times\mathbb{C}^\ast }(Z)\simeq \mathbb{H}$. 他的证明放在了下一章. 但当然, 我们也不会完全 follow 他的证明.
在这一章, 我们着重考虑 $G=\text{SL}_2$ 的状况. 选取 $\operatorname{Hom}(T,\mathbb{C}^\ast )\simeq\mathbb{Z}$ 的一个生成元:
\[\omega:diag(t,t^{-1})=t^{-1}.\]于是 $\operatorname{Hom}(T,\mathbb{C}^\ast )$ 中的元素都可以被写作 $\lambda=n\omega$. 有 $\text{SL}_2\circlearrowright \mathbb{C}^2\backslash{0}$ transitively. 我们有 natural $\text{SL}_2(\mathbb{C})$-equiv. isom.
\[G/U\simeq \mathbb{C}^2\backslash\{0\},\mathcal{B}=G/B=\mathbb{P}^1.\]Lemma 7.5.3. $diag(t,t^{-1})$ 在 $G/U$ 上的右作用是 standard 的 $t$ dilation: $t:(z_1,z_2)\mapsto (tz_1,tz_2)$.
回忆 $\mathcal{O}(n)$ 为 $\mathbb{P}^1$ 上的 line bundle whose germs of sections are regular homog. functions of deg. $n$ on open $\mathbb{C}^\ast $ stable subset of $\mathbb{C}^2\backslash{0}$. 而在 6.1 中, 对任意 weight $\lambda$ 我们 associate 了一个 line bundle $L_\lambda$ on $\mathbb{P}^1$.
Lemma 7.5.4. For all $n\in\mathbb{Z}$, there is a natural $G$-equiv. isom. $L_{n\omega}\simeq \mathcal{O}(n)$.
现在, 考虑 $p:\mathbb{P}^1\to pt$. 我们可以 regard $R(T)$ as $\mathbb{Z}[X,X^{-1}]$, 其上的 $W$-action 则是 $X\leftrightarrow X^{-1}$. 于是,
Lemma 7.5.5. For $n\in\mathbb{Z}$,
\[p_*\mathcal{O}(n)=\frac{X^{n+1}-X^{-n-1}}{X-X^{-1}}\in R(T)^W.\]Recall 对于 sheaf $\mathcal{F}$, $p:X\to pt$,
\[p_*\mathcal{F}=\sum_{i\geq0} (-1)^iH^i(X,\mathcal{F}).\]以及我们有 Serre Duality
\[H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(n))^*\simeq H^0(\mathbb{P}^1,\Omega_{\mathbb{P}^1}\otimes\mathcal{O}(-n))=H^0(\mathbb{P}^1,\mathcal{O}(-n-2)).\]现在, 我们 set $\mathbb{P}=\mathbb{P}^1$. $G\circlearrowright \mathbb{P}\times\mathbb{P}$ 拥有 $\mathbb{P}_\Delta$ 与 $\mathbb{P}\times\mathbb{P}\backslash \mathbb{P}_\Delta$ 两个轨道. 于是, $Z$ 包含两个 comp. $Z_\Delta=T^\ast _{\mathbb{P}_\Delta}(\mathbb{P}\times \mathbb{P})$ 与 $Z_Y=T^\ast _{\bar{Y}}\mathbb{P}\times \mathbb{P}$. 注意后者对应到 $T^\ast \mathbb{P}\times \mathbb{P}$ 的 zero section, 于是他 isom. to $\mathbb{P}\times \mathbb{P}$.
此外, 我们还要 set 两个东西: $\mathcal{Q}=\pi_Y^\ast \Omega_{\mathbb{P}\times\mathbb{P}/\mathbb{P}}^1$, with $\Omega^1_{\mathbb{P}\times\mathbb{P}/\mathbb{P}}$ relative 1-forms along the 1st proj. $\mathbb{P}\times\mathbb{P}\to \mathbb{P}$, $\pi_Y:Z_Y\to \mathbb{P}\times\mathbb{P}$. 考虑 $\mathcal{O}_n=\pi^\ast _\Delta\mathcal{O}(n)$, $\pi_\Delta:Z_\Delta\to \mathbb{P}_\Delta$.
现在, 我们知道 affine Hecke $\mathbb{H}$ for $\text{SL}_2(\mathbb{C})$ is an ass. $\mathbb{C}[q,q^{-1}]$-alg. on $3$ generators $T,X,X^{-1}$ w/.
\[(T+1)(T-q)=0,X\cdot X^{-1}=X^{-1}\cdot X=1,\]and
\[TX^{-1}-XT=(1-q)X.\]我们用 $c=-(T+1)$ 重写这几条关系, 即
\[c^2=-(q+1)c,cX^{-1}-Xc=qX-X^{-1}.\]现在, 我们要构造 alg. isom.
\[\mathbb{H}\overset{\sim}{\to}K^{G\times \mathbb{C}^*}(Z).\]RHS 的 alg. str. given by convolution. 我们现在构造 maps
\[\Theta:\{c,X,X^{-1}\}\to K^{G\times \mathbb{C}^*}(Z).\]\[X\mapsto[\mathcal{O}_{-1}],X^{-1}\mapsto [\mathcal{O}_1],c\mapsto [q\mathcal{Q}].\]Thm. 7.5.12. $\Theta$ can be extended to $\Theta:\mathbb{H}\to K^{G\times \mathbb{C}^\ast }(Z)$ i.e. it satisfies
\[(q\mathcal{Q})*(q\mathcal{Q})=-(q+1)q\mathcal{Q},\]\[(q\mathcal{Q})*\mathcal{O}_1-\mathcal{O}_{-1}*(q\mathcal{Q})=q\mathcal{O}_{-1}-\mathcal{O}_1,\]\[ \mathcal{O}_1*\mathcal{O}_{-1}=\mathcal{O}_0.\]这个的证明是仔细的 $K$-理论计算. 我大概 sketch 一下: 首先, 考虑 $\mathbb{P}\overset{i}{\hookrightarrow} T^\ast \mathbb{P}, \mathbb{P}\overset{\pi}{\leftarrow} T^\ast \mathbb{P}$. 于是 Koszul cpx.
\[0\to \mathcal{O}_{T^*\mathbb{P}}\to \pi^*\Omega_{\mathbb{P}}^1\to i_*\Omega_\mathbb{P}^1\to 0,\]tensor with $\mathcal{O}_\mathbb{P}$, 我们得到
\[0\to \mathcal{O}_{\mathbb{P}}\boxtimes \mathcal{O}_{T^*\mathbb{P}}\overset{\delta}{\to} \mathcal{O}_{\mathbb{P}}\boxtimes \pi^*\Omega_\mathbb{P}^1\to \mathcal{Q}\to 0.\]注意 $\delta$ 并不是 $\mathbb{C}^\ast $ equiv. 的, 为了使他变得 equiv, 我们需要在后二项中 tensor q. 也就是说, 在 $K^{G\times \mathbb{C}^\ast }(\mathbb{P}\times T^\ast \mathbb{P})$ 中,
\[q\mathcal{Q}=q\cdot(\mathcal{O}_\mathbb{P}\boxtimes \pi^*\Omega^1_\mathbb{P})-\mathcal{O}_{\mathbb{P}}\boxtimes \mathcal{O}_{T^*\mathbb{P}}.\]这便允许我们计算 $q\mathcal{Q}\ast q\mathcal{Q}$, 经过计算得到他等于 $-(q+1)q\mathcal{Q}$. (在这里我们会利用 $p_\ast \mathcal{O}_\mathbb{P}(-2)=-1$ 与 $p_\ast \mathcal{O}_{\mathbb{P}}=1$, 而这个由 7.5.4 与 7.5.5 给出).
而对于剩下的部分, 利用
\[\bar{\pi}: Z\hookrightarrow \mathbb{P}\times T^*\mathbb{P}\hookleftarrow \mathbb{P}\times \mathbb{P} :\bar{i},\]我们考虑 $\Phi:\bar{i}^\ast \bar{\pi}_\ast :K^{G\times \mathbb{C}^\ast }(Z)\to K^{G\times \mathbb{C}^\ast }(\mathbb{P}\times \mathbb{P}).$ 这样, 由于 (我们可能会在 7.6 证明) $\Phi$ 是 inj, 我们就把这个计算划归到容易计算的 $K$-gp. $K^{G\times \mathbb{C}^\ast }(\mathbb{P}\times \mathbb{P})$ 上了.
我们有 Kunneth formula
\[K^{G\times \mathbb{C}^*}(\mathbb{P}\times \mathbb{P})=K^{G\times \mathbb{C}^*}(\mathbb{P})\otimes_{R(G\times \mathbb{C}^*)}K^{G\times \mathbb{C}}(\mathbb{P}).\]因此我们只需要将
\[\Phi(q\mathcal{Q})*\Phi(\mathcal{O}_1)-\Phi(\mathcal{O}_{-1})*\Phi(q\mathcal{Q})=q\Phi(\mathcal{O}_{-1})-\Phi(\mathcal{O}_1)\]两侧写作 $K^{G\times \mathbb{C}^\ast }(\mathbb{P})\otimes_{R(G\times \mathbb{C}^\ast )}K^{G\times \mathbb{C}}(\mathbb{P})$ 的元素即可. 总而言之, 利用 Koszul cpx, 他们都能写成
\[q\mathcal{O}\boxtimes \mathcal{O}(-1)-\mathcal{O}\boxtimes \mathcal{O}(1)-q\mathcal{O}(-1)\boxtimes \mathcal{O}(-2)+\mathcal{O}(-1)\boxtimes\mathcal{O}.\]得证.
Thm 7.5.22. $\Theta$ is an isom.
Proof. 考虑 $\mathbb{H}_0\subset \mathbb{H}$ generated by $X$ and $X^{-1}$. 我们有 $\Theta(\mathbb{H}_0)\subset K^{G\times \mathbb{C}^\ast }(Z_\Delta)$. Furthermore, 实际上 $\Theta$ 恰为如下 natural isom 的 composition:
\[\mathbb{H}_0\overset{\sim}{\to} R(T)[q,q^{-1}]\simeq K^{G\times \mathbb{C}^*}(\mathbb{P})\simeq K^{G\times \mathbb{C}^*}(Z_\Delta).\]于是, $\mathbb{H}_0$ 的像恰为 $K^{G\times \mathbb{C}^\ast }(Z_\Delta)$.
根据 Cellular Fib. Lemma 5.5 applied to $Z$, 我们得到
\[0\to K^{G\times \mathbb{C}^*}(Z_\Delta)\to K^{G\times \mathbb{C}^*}(Z)\to K^{G\times \mathbb{C}^*}(T^*_Y(\mathbb{P}\times \mathbb{P}))\to 0.\]根据 Thom.
\[K^{G\times \mathbb{C}^*}(T^*_Y(\mathbb{P}\times \mathbb{P}))\simeq K^{G\times \mathbb{C}^*}(Y)\simeq K^{G\times \mathbb{C}^*}(\mathbb{P}).\]而 $K^{G\times \mathbb{C}^\ast }(\mathbb{P})\simeq R(B\times \mathbb{C}^\ast )\simeq R(T\times \mathbb{C}^\ast )$. 于是 $K^{G\times \mathbb{C}^\ast }(T^\ast _Y(\mathbb{P}\times \mathbb{P}))= R(T\times \mathbb{C}^\ast )\cdot [\mathcal{O}_{T^\ast _Y(\mathbb{P}\times \mathbb{P})}]$. 于是我们得到
\[K^{G\times \mathbb{C}^*}(Z)/K^{G\times \mathbb{C}^*}(Z_\Delta)\simeq R(T\times \mathbb{C}^*).\]that is
\[\bar{\Theta}:\mathbb{H}/\mathbb{H}_0\to K^{G\times \mathbb{C}^*}(T^*_Y(\mathbb{P}\times \mathbb{P}))\]sends $T$ to $u\cdot[\mathcal{O}_{T^\ast _Y(\mathbb{P}\times \mathbb{P})}]$ w/. $u$ invertible. 于是, 上述映射 isom. 从而 $\Theta$ 本身 isom.