这一章是讲 Specialization 的. 也许领会精神就行了, 不用 check 太 technique 的东西.

对于 $p:X\to C$ $G$-equiv. morph, $C$ smooth alg. curver with base pt $o\in C$. $X$ $G$-var, $p:X\to C$ $G$-equiv. morph. 考虑 $X_o=p^{-1}(o)$, $X^\ast =X\setminus X_o$.

我们希望给出 specialization morph.

定义 $\mathcal{F}$ 是 $G$-equiv. coh. sheaf $\mathcal{F}^\ast $ on $X^\ast $ 的 lattice. 如果

(i) $\mathcal{F}$ $G$-equiv. coh. sheaf on $X$ s.t. $\mathcal{F}|_{X^\ast }=\mathcal{F}^\ast $.

(ii) $\mathcal{F}$ has no subsheaves supported on $X_o$.

Lemma 5.3.2 则是说, 对于如上的 setting, lattice 存在. 且对于 $\mathcal{F}_i$ lattices,

其中 $t$ 是一个 local para. s.t. $t(o)=0$.

存在性就是考虑, 由于 $X^\ast $ open dense, $\mathcal{F}^\ast $ 可以扩充成 $\tilde{\mathcal{F}}$. 于是考虑 $\mathcal{F}$ 为 $\tilde{\mathcal{F}}$ 商掉所有 $t^k$ 作用下的 ker. 满足题意. 而 “唯一性” 则 follow by $i_\ast \mathcal{F}=\mathcal{F}/t\cdot\mathcal{F}$.

现在, 我们定义

根据等价关系上简单的 argument, 这给出了

接下来来考虑这个 limit (specialization) 和 reduction 之间的关系. 首先, 他 note 了一下他所提到的 “fibration” 指处处 surj. diff. 的 morph.

考虑 $X$ smooth $G$-var. $p:X\to C$ smooth $G$-equiv. fibration over $C$ (with trivial $G$-action). $Z\subset X$ closed $G$-stable subvar. put $Z_o=Z\cap X_o$, $Z^\ast =-$. 有

Lemma 5.3.6: $\mathcal{F}$ $G$-equiv. coh. sheaf on $Z$. Then we have, in $K^G(Z_o)$,

where the specialization on LHS is taken w.r.t. a (non-flat) morph. $p:Z\to C$, $i^\ast _Z$ 表示 restriction with supports.

这个证明是一个 purely a.g.(?) 的东西. 留着明天看吧.

这个证明也许还值得说一下.

接下来的一个事情是, specialization 和 convolution 交换. set $M_1,M_2,M_3$ smooth. alg. $G$-var., $f_i:M_i\to C$ fibration. Take $M^o_i=f_i^{-1}(o)$, $M_i^\ast $ 定义如上. take $Z_{12}\subset M_1\times M_2, Z_{23}\cdots$. 考虑 $Z_{13}=Z_{12}\circ Z_{23}$. 考虑 $f_{ij}:Z_{ij}\to C$ 为 $f_i\times f_j:M_i\times M_j\to C$ 在 $Z_{ij}$ 上的限制. Put $Z_{ij}^o=f_{ij}^{-1}(o), Z_{ij}^\ast =-$. 有

Theorem 5.3.9: The following diag. commutes.

说实话, 我对那个 $f_i\times f_j$ 很迷惑: 很显然我们不可能从 $f_i,f_j$ 搞出 $M_i\times M_j$ 到 $C$ 的映射.

好, 问了神奇的粮食, 我们可以考虑 fiber prod $C\times_C C$ 作为一个 curve. 在这种情况下当然可以诱导 $M_i\times M_j\to C\times_C C$.

fiber prod. 很神奇吧()

接下来是 Proj. formula 和 base change. 下面这个结论来自于 Hartshorne II Ex.5.1: $f:X\to Y$, $\mathcal{F}$ coh. sheaf on $X$, $\mathcal{E}$ equiv. locally free sheaf on $Y$. 于是, 有

当然, 要注意他的定义是直接 follow 的 Hartshorne 上的, 并不是我们定义的 $K^G$ 上的 mapping. 这个的证明要到 Fulton 的 Intersection Theory 找()

然后是 base change, 先来那个 Setting $\phi: \tilde{S}\to S, f:Z\to S$ $G$-equiv. 考虑 natural cartesian

现在考虑, either $\phi$ flat or $\phi$ closed embedding of smooth var and there is smooth fibration $f:X\to S$ s.t. $f:Z\to S$ 是 $f$ 在 $Z\subset X$ 上的限制. 在这种条件下, 我们可以定义 $\tilde{\phi}^\ast :K^G(Z)\to K^G(\tilde{Z})$: flat case 是通过 $\tilde{\phi}:\tilde{Z}\to Z$ 和 5.2.5, closed embedding case 则是考虑 $\tilde{X}=\tilde{S}\times_S X$, 然后考虑上述的 Cartesian diag. with smooth ambient var. 然后利用 restriction with support $K^G(Z)\to K^G(\tilde{X}\cap Z)=K^G(Z)$.

Prop 5.3.15: 如果 either of 上述两个 assumption hold 且, $f:Z\to S$ proper, 那么following diag. commutes:

flat case 是 follows from SGA, 而 closed embedding case 则尤为简单: 考虑 $\tilde{\phi}_\ast \mathcal{O}_{\tilde{X}}$, 他拥有 finite $G$-equiv resol. $E^\cdot$. 于是, $\tilde{\phi}^\ast :K^G(Z)\to K^G(\tilde{Z})$ 是 given by tensoring $E^\cdot$. 因此