5.5 则不长, 讲的是 Cellular Fibration Lemma
对于 $\pi:F\to X$ morph. of $G$-var. 我们称 $F$ 是一个 cellular fibration over $X$, 如果 $F$ equipped with a finite decreasing filt. $F=F^n\supset F^{n-1}\supset\cdots\supset F^0=\emptyset$. s.t.
(a) $F^i$ $G$-stable closed alg. subvar.; furthermore, $F^i\to X$ $G$-equiv locally trivial fibration.
(b) $\pi_i:F^i\setminus F^{i+1}\to X$ $G$-equiv. affine fibration.
记, $E^i=F^i\setminus F^{i+1}$, 考虑
\[X\overset{\bar{\pi}_i}{\leftarrow} \bar{E}^i\overset{\epsilon_i}{\hookrightarrow} F.\]如下 Lemma, 即被称作 cellular fibration lemma:
Lemma 5.5.1. In the above setup, the following holds.
(a) 对任意 $i$, 有 s.e.s.
\[0\to K^G(F^{i-1})\to K^G(F^{i})\to K^G(F^{i}\setminus F^{i-1})\to 0.\](b) 如果 $K^G(X)$ free $R(G)$-mod. with basis $\mathcal{F}_1,\cdots,\mathcal{F}_m$, 于是上述所有 s.e.s. 都 (non-canonically) split. Moreover, $K^G(F)$ free $R(G)$-mod. with basis ${(\epsilon_i)_\ast \bar{\pi}_i^\ast (\mathcal{F}_j), i=1,\cdots,n;j=1,\cdots,m}$.
(c) $H\subset G$ closed alg. subgp., suppose that $(b)$ holdsfor both $G,H$, 如果 natural map
\[R(H)\otimes_{R(G)}K^G(X)\to K^H(X)\ (553)\]isom, then so is
\[R(H)\otimes_{R(G)}K^G(F)\to K^H(F).\](553) 是来自 $R(G)\to R(H)$ 这个 (inflation? 我一直记得能这么叫, 但找不到出处了kk).
这个证明如下, 是一些符号练习()
首先, 考虑
\[F^{k-1}\overset{i}{\hookrightarrow}F^k\overset{j}{\hookleftarrow} E^k,\]可以导出 $j^\ast $ surj, 于是 $\partial$ triv. (a) 得证.
(b) 通过 induction 证明之. 首先, $F^1=E^1$ 的情况下, 我们有 Thom $\pi_1^\ast :K^G(X)\overset{\sim}{\to} K^G(E^1)$, 原命题显然成立. 而对于归纳过程, 我们只需要注意到 $\pi_k^\ast :K^G(X)\overset{\sim}{\to} K^G(E^k)$, 然后利用 (a) 中 s.e.s., 我们可以得到 $F^k$ free, 且 s.e.s. splits.
(c) 则是, 由于 $K^G(F^i)$ free, tensoring $R(H)$ 之后 (a) 依然是 s.e.s.
\[0\to R(H)\otimes_{R(G)}K^G(F^{i-1})\to R(H)\otimes_{R(G)}K^G(F^{i})\to R(H)\otimes_{R(G)}K^G(E^{i})\to 0.\]而直接考虑 $H$-equiv. bundle, 其导出
\[0\to K^H(F^{i-1})\to K^H(F^{i})\to K^H(E^{i})\to 0.\]我们得到 commutative diag.
然后通过归纳和五引理, 得证.
5.5.5 讲的则是 Topological $K$-theory. 对于一个 locally compact top. space $X$ with 一个 compact gp $G_{comp}$-action, 我们通过向量丛的结构来定义其拓扑 $K$ 群 $K_{top}^{G_{comp}}(X)$. 这个跟我们先前的代数 $K$ 群 $K^G(X)$ 构造是不一样的: 他完全没有用到代数的结构.
这二者关系是这样的: 首先, 考虑 $G$ complex red. gp., $G_{comp}\subset G$ maximal compact subgp. 于是, 按照如下定义, 我们有自然的 homo. $K^G(X)\to K^{G_{comp}}_{top}$. 首先, 对于 $X$ smooth compact 的情况, 直接取 equiv. v.b., 将它 regard as top. v.b. 对于 $X$ singular proj. var. 的情况下, 我们将 $X$ 嵌入 smooth proj. $G$-var. $M$. 于是 $X$ 上的 coh. sheaf. 在 $M$ 上有 finite equiv. resol. 于是 $K^G(X)\to K^{G_{comp}}_{top}$ 把每一个 equiv. v.b. 打到 $M$ 上的 resol. 即可. 对于 noncompact 的情况, CG 直接引用的 [BFM], 我们跳过()
我们有如下结论:
Prop 5.5.6. $F\to X$ $G$-equiv. cellular fibration. 如果 $K^G(X)\to K^{G_{comp}}_{top}(X)$ isom. then so is $K^G(F)\to K^{G_{comp}}_{top}(F)$.
你应该已经猜到怎么证了: 没错, 在 top. ver. 的 $K$ 群里也有 Thom-like isom. 然后五引理+归纳即可.