晚安 代数tv
接下来, 就是喜闻乐见的 Koszul cpx. 这一章也讲 Thom Isom 的东西.
在这里, 考虑 $\pi:V\to X$ $G$-equiv. vector bundle, $i: X\hookrightarrow V$ 一个 section. 于是, 我们可以给出来 $i_\ast \mathcal{O}_X$ 的一个 resolution.
考虑 $\wedge^iV$ $i$ 次 exterior power. 定义
\[\lambda(V)=\sum_{i=0}^{\dim V}(-1)^i\cdot \wedge^i V\in K^G(X).\]为此, 考虑 $Eu$ Euler vector field on $V$ 由 $\mathbb{C}^\ast $-action 生成. 为此, 考虑 $\Omega^j_{V/X}$ 为 $V$ over $X$ 上的 relative $j$-form. 我们有 Koszul complex
\[\cdots\to \Omega^2_{V/X}\overset{i_{Eu}}{\to} \Omega^1_{V/X}\overset{i_{Eu}}{\to} \Omega^0_{V/X}\overset{\epsilon}{\to}i_\ast \mathcal{O}_X.\]$\epsilon$ 是 restrict to section, $i_{Eu}$ 是跟 $Eu$ 的 contraction. 在 local basis 的角度讲, 考虑 $\pi:V^\vee\to X$, 有 $\Omega_{V/X}^j\simeq \pi^\ast (\wedge^jV^\vee)$, $\wedge^jV^\vee_x\to \wedge^{j-1 }V^\vee_x$ 就是 given by
\[\check{v}_1\wedge\cdots\wedge\check{v}_j\mapsto \sum_{k=1}^j(-1)^k\langle \check{v}_k,v\rangle\cdot \check{v}_1\wedge\cdots\hat{\check{v}}_k\cdots\wedge\check{v}_j\]Prop 5.4.5: 上述 complex exact, 于是在 Grothendieck gp. 里我们有
\[i_*\mathcal{O}_X=\pi^*(\lambda(V^\vee)).\]现在, 对于 vector bundle $V\to X$, $\mathcal{F}\in K^G(V)$, 利用 $i_\ast \mathcal{O}_X$ 的 Kozul resol., 我们定义 $[i^\ast \mathcal{F}]\in K^G$ 为如下 complex 的 alternating sum
\[\cdots\to\pi^*\wedge^2 V^\vee \otimes \mathcal{F}\to\pi^*\wedge^1 V^\vee \otimes \mathcal{F}\to \mathcal{F}. \]Lemma 5.4.9: $\bar{\mathcal{F}}\in K^G(X)$, 于是
\[i^*\pi^*\bar{\mathcal{F}}=\bar{\mathcal{F}}, i^*i_*\bar{\mathcal{F}}=\lambda(V^\vee)\otimes \bar{\mathcal{F}}.\]第一部分我还没太想懂, 第二部分是由于 Proj. formula
\[i_*(\bar{\mathcal{F}}\otimes i^*\mathcal{E})=i_*\bar{\mathcal{F}}\otimes \mathcal{E},\]在这里取 $\mathcal{E}=\pi^\ast \wedge^nV$ 然后利用第一部分有 $i^\ast \mathcal{E}=\wedge^nV$,得到其每一项同构于 $i^\ast (\wedge^nV\otimes \bar{\mathcal{F}})$. 而这恰好是 support on zero section 的部分. 在 $X$ 上考虑, 可以得到其就是 $\lambda(V^\vee)\otimes \bar{\mathcal{F}}$.
Prop 5.4.10. $i: N\hookrightarrow M$ $G$-equiv. closed embedding of a smooth $G$-var. $N$ as a submfd. of a smooth $G$-var. $M$. Then the composite map $K^G(N)\overset{i_\ast }{\to} K^G(M)\to \overset{i^\ast }{\to}K^G(N)$ is given by $i^\ast i_\ast \bar{\mathcal{F}}=\lambda(T^\ast _NM)\otimes \bar{\mathcal{F}}$.
Cor 5.4.11. $G$-equiv s.e.s. $V_1\hookrightarrow V\twoheadrightarrow V_2$ of vector bundle on $X$, we have $\lambda(V)=\lambda(V_1)\otimes \lambda(V_2)$.
Prop 5.4.10 的证明就先省略了() 我来写一下 5.4.11 的证明.
考虑
实际上, $j(V_1)$ 在 $V$ 中的 normal bundle 就是 $\pi_{V_1}^\ast V_2$. 于是, 根据 Prop.
\[j^*j_*(\mathcal{F})=\pi^*_{V_1}\lambda(V_2^\vee)\otimes\mathcal{F}.\]有
\[\begin{align*} i^*_V(i_V)_*(\mathcal{O}_X)&=i^*_{V_1}j^*j_*(i_{V_1})_*(\mathcal{O}_X)\\ &=i^*_{V_1}\big(\pi^*_{V_1}\lambda(V_2^\vee)\otimes(i_{V_1})_*(\mathcal{O}_X)\big)\\ &=\lambda(V_2^\vee)\otimes(i^*_{V_1}i_{V_1*}\mathcal{O}_X)\\ &=\lambda(V_2^\vee)\otimes\lambda(V_1^\vee)\otimes \mathcal{O}_X=\lambda(V_2^\vee)\otimes\lambda(V_1^\vee). \end{align*}\]而, $i^\ast _V(i_V)_\ast (\mathcal{O}_X)=\lambda(V^\vee)$.
然后把 5.4.10 的证明跳过了之后, 就是关键定理了: 考虑 $\pi:E\to X$ $G$-equiv. affine bundle on $X$.
Theorem 5.4.17. (The Thom isom. thm.). For any $j\geq 0$ the morph. $\pi^\ast :K_j^G(X)\to K_j^G(E)$ is an isom.
也许这个定理的证明也会跳过, 谁知道呢.