故事的最末 站着 Kostant 和他的 Thm.

我们有 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W\simeq \mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G\subset \mathbb{C}[\mathfrak{g}]$. 根据 Bour. 的定理, 我们有 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]$ 是一个 free polyn. alg with $r=rank\mathfrak{g}$ generators. Take $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G=\mathbb{C}[p_1,\cdots,p_r]$. 考虑

我们有 $\mathcal{V}_\chi:=\rho^{-1}(\chi)$ 是一个 level set. Kostant 给出了如下三大件:

Thm. 6.7.2. (Geom. properties) $\rho$ is a surj. with $2N$-diml irr. fibers. Moreover, $\forall\chi, \mathcal{V}_\chi$ 拥有如下性质:

(i) $\mathcal{V}_\chi$ 是 $G$-stable closed subvar. of $\mathfrak{g}$ consisting of finitely many $G$-conj. classes.

(ii) $\forall \chi$ regular, $\mathcal{V}_\chi$ 中存在唯一一个 dense conj. class $\mathcal{V}_\chi^{reg}\subset \mathcal{V}_\chi$ of dim. $2N$.

(iii) $\forall \chi$ s.s. element in $V_\chi$ form a conj. class $V^{ss}_\chi\subset V_\chi$, 它拥有这些 conj. classes 中最小的维数, 也是 $V_\chi$ 中唯一闭的 conj. class.

(iv) $\rho$ 的 zero-fiber 是 nilp. cone.

(v) $\rho^{-1}(\chi)$ 是一个 simple conj. class iff 他包含了一个 regular simple element.

现在, view $\chi:\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G\to \mathbb{C}$ as a homo. (虽然我没有完全理解这个 homo..), 这个 homo 有, for $\chi=(\chi_i)$, $\ker\chi$ is generated by $p_1-\chi_1,\cdots,p_n-\chi_n$.

Thm. 6.7.3. (Algebro-Geom. properties) For each $\chi\in \operatorname{Specm}\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G=\mathfrak{h}/W$, 有

(i) A polyn. $f\in \mathbb{C}[\mathfrak{g}]$ vanishes on $\mathcal{V}_\chi$ iff $f\in \mathbb{C}[\mathfrak{g}]\cdot\ker\chi$, in order word,

(ii) The ring $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]/\mathbb{C}[\mathfrak{g}]\cdot \ker\chi$ is normal.

(iii) The natural restriction map $\mathcal{O}(\mathcal{V}_\chi)\to\mathcal{O}(\mathcal{V}^{reg}_\chi)$ is an isom.

考虑 $\mathcal{H}\subset \mathbb{C}[\mathfrak{g}]$ $G$-harmonic polyn. on $\mathfrak{g}$, by adj. action 我们给出了 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]$ 和 $\mathcal{O}(\mathcal{V}_\chi)$ $G$-mod. 的结构.

Thm 6.7.4. (Alg. properties)

(i) The alg. $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]$ is a free $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G$-mod; furthermore, multiplication map 给出了 $G$-equiv. 的 graded $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G$-mod. isom.

(ii) For any $\chi\in\operatorname{Specm}\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G=\mathfrak{h}/W$, $G$-mod. $\mathcal{O}(\mathcal{V}_\chi)$ is isom. to a direct sum of f.d. simple $G$-mod. If $V$ is such $G$-mod. then it occurs in $\mathcal{O}(\mathcal{V}_\chi)$ with multiplicity $\dim V(0)$, with $V(0)$ zero-weight space in $V$.

这是几个漂亮的定理, 我们只简单带一下他的证明.

672:

首先, 由于我们有 proj. $\mathfrak{g}\to \mathfrak{h}/W$, 对任意的 $G$-inv. 的 $P$ $h,n$ 分属于某个 Borel subalg. 的 Cartan part 与 nilp part. 于是有

于是, $h+\mathcal{N}^h\subset \mathcal{V}_h$. In particular,

而, 我们 claim,

这是因为, 我们对 $x\in \mathcal{V}_h$ 作 Jordan decomp. $s+v$, 有 $s$ conj. to some element $h’\in \mathfrak{h}$, 于是 $P(h’)=P(h)$ 给出 $h’\in Wh$, 于是也就 $G$-conj. 因此 $x\simeq h+n$ w.r.t. conj. by $G$.

对于 $h$ regular, 我们现在有 $G\times_{1G(h)}(h+\mathcal{N}^h)=G\times_T{h}\simeq G/T$. 而 r.s elements 给出了 $\mathfrak{g}$ 的一个 open dense subset, 这给出了 $\rho:\mathfrak{g}\to \mathfrak{h}/W$ 的 generic fiber 拥有 dim. $\dim\mathfrak{g}-r=2N$.

我们现在说明 $\rho$ 的 fibers 都拥有相同的 dim. 首先, special fiber 的 dim 总是 $\geq$ generic fiber 的 dim, which equals to $2N$. 于是对任意 $h\in \mathfrak{h}/W$, $\dim \mathcal{V}_h\geq 2N$.

另一方面讲, 由 $G\times_{G(h)}(h+\mathcal{N}^h)\to \mathcal{V}_h$ 的 surj, 我们得到

但, $\dim G(h)-\mathcal{N}^h=\operatorname{rank} G(h)=\operatorname{rank} G=r$, 我们有

现在, $G\times_{G(h)}(h+\mathcal{N}^h)$ 的 $G$-orbit 1-1 corre. 到 $h+\mathcal{N}^h$ 的 $G(h)$-conj. class. 特别地, 他是 finite orbits 的, 因此 $G\times_{G(h)}(h+\mathcal{N}^h)$ 拥有 finite $G$-orb. 因此 $\mathcal{V}_h$ 上也拥有 finite $G$-orb. 而, ${h}$ 显然是一个 closed class, 因此 $G\times_{G(h)}{h}$ 也是 $\mathcal{V}$ 的一个包含于其余任意 conj. class 的 closure 的 conj. class, 因此是 minimal 的. (i) 得证.

而, 对于 $\mathbb{O}^h\subset\mathcal{N}^h$ open dense,

也是 dense 的 of dim. $2N$, in particular, open dense. 显然其包含了所有的 regular elements for all other conj. class has lower dim. 特别地, 他是极大的. (ii) 和 (iii) 得证. 而, $\mathcal{V}_h$ single conj. class iff $V^{reg}_{h}=\rho(G\times_{G(h)}(h+\mathbb{O}^h))$ s.s. 这也就是说 $\mathbb{O}^h=\mathcal{N}^h={0}$. 这也就是说, $\mathfrak{g}(h)=\mathfrak{h}$ i.e. $h$ regular. (v) 得证. 而 (iv) 则由 Prop. 3.2.5 直接推出. 这样便完成了定理证明.

673: fix $\mathfrak{h}\hookrightarrow \mathfrak{g}$, 由 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}/\mathfrak{h}]\to \mathbb{C}[\mathfrak{g}]$. 我们给出了 alg. homo.

Claim 6.7.9. 如上 alg. homo. 是 inj. 的, 且 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]$ 是 free graded $\mathbb{C}[\mathfrak{g}/\mathfrak{h}]\otimes_\mathbb{C}\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G$-module of rank $r$.

这是因为我们有 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G\overset{\simeq}{\to} \mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W\hookrightarrow \mathbb{C}[\mathfrak{h}]$. 于是, 我们得到 inj. 而, 根据 6.1.2, 如上的 comp. map. 给出了 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]$ 上的 free $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G$-mod 结构.

于是, 对于 $\chi\in \operatorname{Specm}\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G$, 我们有 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]/\mathbb{C}[\mathfrak{g}]\cdot\ker\chi$ 是 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}/\mathfrak{h}]$ 的 rank $r$ free mod. 于是 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]/\mathbb{C}[\mathfrak{g}]\cdot\ker\chi$ Cohen-Macaulay.

现在, 取 $p_1,\cdots, p_r$ homo. generators of $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G$. 于是,

Claim 6.7.10. $dp_i(x)$ linearly indep. at any regular pt. $x\in\mathfrak{g}$.

这个定理我们(或者说, CG上)决定后面再证. 于是, 这个根据我先前未提到的一个不太难的定理 (2.2.11), $\mathcal{O}(\mathcal{V}_\chi)=\mathbb{C}[\mathfrak{g}]/\mathbb{C}[\mathfrak{g}]\cdot \ker \chi$. 这个给出了 6.7.3.(i) 的证明.

现在, 考虑 $\mathfrak{g}$ 的 conj. class, 其有自然的 symplectic mfd. 结构. In particular, 其有 even cpx. dim. 于是, 根据 6.7.2, 我们有 $\mathcal{V}_\chi$ 总拥有 even dim, and more over, 其存在 smooth open subset $\mathcal{V}_\chi^{reg}\subset \mathcal{V}_\chi$ s.t. $\dim (\mathcal{V}_\chi\backslash\mathcal{V}_\chi^{reg})\leq \dim \mathcal{V}_\chi-2$. 得证.

674: 根据 6.7.9., 我们有 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]$ free graded $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G$-mod. 于是, 6.3.3. qpplied to $G\circlearrowright \mathfrak{g}$ 我们得到 (i).

而对于 (ii), 首先我们有, 对任意 ring homo. $\chi:\mathbb{C}[G]^G\to\mathbb{C}$, 我们有 direct sum decomp. $\mathbb{C}[G]^G=\ker\chi\oplus \mathbb{C}\cdot 1$. (i) 给出了

由于 $\mathcal{H}\otimes \ker\chi$ corresp. to ideal $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]\cdot\ker \chi$. 我们有

也就是说, $\mathcal{H}\hookrightarrow\mathbb{C}[\mathfrak{g}]\twoheadrightarrow \mathbb{C}[\mathfrak{g}]\cdot\ker \chi$ $G$-equiv. isom. of v.s. 由 673(i), $\mathcal{H}\simeq \mathcal{O}(\mathcal{V}_\chi)$. 于是 $\mathcal{O}(\mathcal{V}_\chi)$ 上的 $G$-mod. 结构与$\chi$ 之选取无关.

因此, 不妨 $\mathcal{V}_\chi$ r.s. 我们有, 这个 conj. class isom. to $G/T$ as $G$-space. 于是 $\mathcal{O}(\mathcal{V}_\chi)=\mathcal{O}(G/T)$. Moreover, 根据 Bourbaki, proj. $G\to G/T$ 给出了 $\mathcal{O}(G/T)\simeq \mathcal{O}(G)^T$ w.r.t. right translation. 而 Peter-Weyl 有一个 alg. analogue, 给出了 $\mathcal{O}(G)$ 作为 $G$ 的 two-sided regular repn. of $G$, 拥有decomp.

因此,

得证.

现在, 我们还剩 Claim 6.7.10 没证. 但我们还有一些 Cor. 要玩()

Cor. 6.7.12. A conj. class $\mathbb{O}\subset \mathfrak{g}$ closed iff it consists of s.s. elements.

Cor 6.7.13. $U(\mathfrak{g})$ is a free mod. over its center.

这是因为, 根据 PBW, 有 $\operatorname{gr}U\mathfrak{g}\simeq S\mathfrak{g}\simeq \mathbb{C}[\mathfrak{g}], \operatorname{gr}Z\simeq \mathbb{C}[\mathfrak{g}]^G$, 而根据 6.7.4(i), 前者是后者的 free mod. 最后根据 (被跳过的的) 2.3.20, 我们得证.

Cor. 6.7.14. $\mathcal{N}$ is normal.

这是由 6.7.2(iv) 和 6.7.3(i)-(ii) 给出的.

Cor. 6.7.15. Springer resol. $\mu:T^\ast \mathcal{B}\to \mathcal{N}$ 给出了 alg. isom. $\mu^\ast :\mathcal{O}(\mathcal{N})\overset{\sim}{\to} \mathcal{O}(T^\ast \mathcal{B})$.

沟槽的ai幻觉…

首先, 记 $Q(A)$ 为 $A$ 的 factor. ring. 于是根据 $\mu$ 是 birational 的, 有 $Q(\mathcal{O}(\mathcal{N}))=Q(\mathcal{O}(T^\ast \mathcal{B}))$. 有

而, 由于 $\mu$ proper, $\mu_\ast (\mathcal{O}_{T^\ast \mathcal{B}})$ 是 coh. 的 $\mathcal{O}_{\mathcal{N}}$-mod. 因此 $\mathcal{G}amma(\mathcal{N},\mu_\ast \mathcal{O}_{T^\ast \mathcal{B}})=\mathcal{O}(T^\ast \mathcal{B})$ 是 $\mathcal{O}(\mathcal{N})$ 的 f.g. mod. 根据 $\mathcal{N}$ normal 的整闭性质得证.

Cor 6.7.16. For any $x\in\mathcal{N}$, $\mathcal{B}_x$ conn.

这个(才)是根据 Zariski Main Theorem 给出的, 说, $f:X’\to X$ proper bir. $X$ normal. 于是 $f^{-1}(x)$ 一定是 conn. in the Zar. top.

Proof of 6.7.10. $W\circlearrowright \mathfrak{h}$. 熟知 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W\subset \mathbb{C}[\mathfrak{h}]$ isom. to alg. freely generated by $r$ homogeneous inv. poly. of degree $d_i$.

Prop. 6.7.17. The following identity holds

这是由于, 考虑 Poincare series, 我们有

于是, 将 $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]$ 视作 free $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W$-mod, 我们有

而, 根据 6.4, $\mathbb{C}[\mathfrak{h}]/I^{\mathbb{C}[\mathfrak{h}]}\simeq H^{2\cdot}(\mathcal{B})$, 而后者拥有 Poincare series $\sum_{w\in W}t^{l(w)}$. 得证.

记 \(N=\dim\_{\mathbb{C}}\mathcal{B}=\#\{\text{positive roots}\}\).

Cor 6.7.22. $\sum_{i=1}^r(d_i-1)=N$.

直接考虑两边的最高次项即可. CG 上给出了如下的另一个 purely alg. 的证明. 他要用到如下三个引理.

Lem. 6.7.23. For $a:V\to V$ f.d.v.s. $V$, 我们有如下 formal power series identity

这个应该不用证明了吧, 哈哈, 大家线性代数学得都挺好的.

Lem. 6.7.24. Given a f.d.rep. of $W$ finite gp. 考虑 $E^W$ subspace of $W$-inv. 有

这个应该不用证明了吧, 哈哈, 大家表示论学得都挺好的.

于是, 有

Lem. 6.7.25. $W$ f.g. 有

现在, 我们给出 proof of 6.7.22.

首先, 对于 $w\in W$, $w$ 拥有 $r$ 个 eigenvalue $1$, if $W =1$. 而在其他情况下, $\det(1-t\cdot w)=Q(t)$ 不被 $(1-t)^{r-1}$ 整除.

于是,

于是, \(\prod\frac{1}{1-t^{d\_i}}=P(\mathbb{C}[\mathfrak{h}]^W,t)=\frac{1}{\# W}\left(\frac{1}{(1-t)^r}+N\frac{1}{(1-t)^{r-1}(1+t)}+\sum\frac{1}{Q(t)}\right)\).

于是, 有 \(\prod(1+t+\cdots+t^{d\_i-1})^{-1}=\frac{1}{\# W}\left(1+N\frac{1-t}{1+t}+(1-t)^2f(t)\right)\).

求一次导并取 $t=1$ 得证.

沟槽的 typo…

来, 最后一步!

取 $\langle\cdot,\cdot\rangle$ bilinear inner prod. 我们可以将其 induce 到 exterior power $\Lambda^i \mathfrak{g}^\ast $ 上. 现在, 定义 $\ast :\Lambda^i\mathfrak{g}^\ast \to \Lambda^{\dim \mathfrak{g}-i}\mathfrak{g}^\ast $ given by

定义 $\Omega_{alg}^\cdot(\mathfrak{g})=\mathbb{C}[\mathfrak{g}]\otimes \Lambda^\cdot \mathfrak{g}^\ast $ poly. diff. forms on $\mathfrak{g}$, 我们实际上给出了 $\mathbb{C}[\mathfrak{g}]$-mod isom $\ast : \Omega_{alg}^i(\mathfrak{g})\overset{\sim}{\to}\Omega_{alg}^{\dim\mathfrak{g}-i}(\mathfrak{g})$.

我们给出 skew-symm. bil. form

于是 $\Omega:a\mapsto \Omega_a$ 实际上给出了一个 polyn. diff $2$-form on $\mathfrak{g}$. 考虑 $\Omega^N=\Omega\wedge\cdots\wedge \Omega$. 有

Lemma 6.7.30. $a\in \mathfrak{g}$ regular. iff $\Omega_a^N\neq 0$.

fix $a\in \mathfrak{g}$, 将其视作 $\mathfrak{g}^\ast $ 中的元素, 我们有 $\pi:\mathfrak{g}\to T_a\mathbb{O}$ by coadj. action. 考虑 $\omega_a$ 我们有 $\pi^\ast \omega_a=\Omega_a$. 于是, 有

而, 根据 symplet. form 的性质, 我们有 $\wedge^N\omega_a\neq 0$ iff $T_a\mathbb{O}$ has dim $N$. 而这个和 regular 等价, 得证.

现在, 回到 $p_i$ 的世界, 我们有.

Thm. 6.7.32. Up to non-zero const. we have

由于 $G$-inv., 这个只用对 $\mathfrak{h}^r=\mathfrak{h}\cap\mathfrak{g}^{sr}$ 说明即可. 首先我们 claim, 对任意的 $a\in\mathfrak{h}$, $T_a\mathbb{O}$ 包含于左右两 forms 的 rad.

对于右边的来说, 这是显然的. 而对于左边, 有 $\operatorname{Rad}(\Omega_a^N)=\operatorname{Rad}(\Omega_a)=\mathfrak{g}(a)=\mathfrak{h}$. 我们有

$\operatorname{Rad}(\ast \alpha)=(\operatorname{Rad}(\alpha))^\perp$.

对于 $a$ reg. 我们有 $T_a\perp \mathfrak{h}$, 且 $\mathfrak{g}=T_a\oplus \mathfrak{h}$. 于是左边的也得证.

接下来, 考虑 $a\in\mathfrak{h}^r$, 两侧都是 skew-linear form on $\mathfrak{g}$. 于是, 其都 desends to $r$-form on $\mathfrak{g}/T_a\simeq \mathfrak{h}$ for $\mathfrak{g}=T_a\oplus \mathfrak{h}$. 于是我们只用在 $\mathfrak{h}$ 上证明我们需要的

即可.

那么, 对于 $\mathfrak{h}$ 上的两式, 显然其等于 $Q\cdot \tau$, where $Q$ polyn., $\tau$ volume form ind. by $\langle\cdot,\cdot\rangle$. 那么我们记两侧的 $Q$ 分别为 $Q_L$ 与 $Q_R$, 我们只需要证明 $Q_L=Q_R$.

首先, 一个简单的计算得到 $W$ 在其上的作用满足

接下来, 注意 $\operatorname{deg}Q_L=N=\operatorname{deg} Q_R$. 对于 $Q_R$, 这个实际上就是因为

而左边的呢? $\Omega^N$ 是 of degree $N$ 的 poly. 因此 $\ast (\Omega^N)$ 也是. 于是, 根据

Lemma 6.7.35. Any $W$-anti-inv. poly. of $\mathfrak{h}$ of deg. $N$ is of the form $C\cdot \Delta$, where $\Delta=\prod_{\alpha\in R_+}\alpha$.

为此, 只需注意到对任意 $Q$, $Q$ vanishes on $\ker\alpha$, 根据唯一分解得证.

Finally!

现在是北京时间 2025.11.1 13:25, 也是美国洛杉矶时间 2025.10.31 22:25.

代数tv还是在 11 月前结束了 CG6!