遗憾的消息是, 我们要仿照 3.4 的做派, 把 7.3 这几个 main theorem 跳过了.

一个原因是, 我不太喜欢 Specialization 这一套. 另一个原因是, 我们直接从上面提取出来所需要 thm 的就行了.

对于 $f:V_1\to V_2$ $W$-spaces, 我们称这个映射是 sign-commuting 的, 如果

Recall Poincare duality

这个映射当然不是 comm. with $W$-action 的. 比方说, $W$-action 不保定向, 因此当然不喝 intersection pairing 交换. 更确切地说, $W\circlearrowright H_{2n}(\mathcal{B})$ by $w\mapsto (-1)^{l(w)}$, 也就是说, Poincare duality 是 sign-commutes with $W$-action 的.

这段怎么写的这么别扭,,

但是, 对于 $G/T$, $W$ 在其上的 (右) 作用是 holomorphic transf. 因此保定向. 所以自然地 Poincare duality

与 $W$-action 交换. (这里为什么不是 $4n$? top dimension)

接下来考虑 $\pi: T^\ast \mathcal{B}\to\mathcal{B}$, $i:\mathcal{B}\hookrightarrow T^\ast \mathcal{B}$.

Lemma 7.3.31. 记 $n=\dim_\mathbb{C}\mathcal{B}$, 有

(i) Thom isom. $\pi^\ast :H_i(\mathcal{B})\overset{\sim}{\to} H_{i+2n}(T^\ast \mathcal{B})$ sign-comm. with $W$-actions; and so do its inverse $i^\ast :H_{i+2n}(T^\ast \mathcal{B})\overset{\sim}{\to}H_i(\mathcal{B})$.

(ii) Thom isom. $\pi^\ast :K^G(\mathcal{B})\overset{\sim}{\to} K^G(T^\ast \mathcal{B})$ comm. with $W$-actions; and so do its inverse $i^\ast : K^G(T^\ast \mathcal{B})\overset{\sim}{\to}K^G(\mathcal{B})$.

(iii) Homological Chern char. $K(T^\ast \mathcal{B})\to H_\ast (T^\ast \mathcal{B})$ comm. with $W$-action; $K(T^\ast \mathcal{B})\to H_\ast (T^\ast \mathcal{B})$ sign-comm. with $W$-action.

(iv) Cohomological Chern char. $K(\mathcal{B})\to H^\ast (\mathcal{B})$ comm. with $W$-action.

证明可以几何地写出:

(i) 只需对 $i^\ast $ 说明即可. 为此, 注意 $i^\ast $ 实际上就是与 $[\mathcal{B}]$ zero-section 作交. 我们需要说明 $[\mathcal{B}]$ 与 $H(Z)$ 的 conv. 是 sign repn. 且 $[T^\ast \mathcal{B}]$ 与 $H(Z)$ 的 conv. 是 triv. repn. 对于前者, 他是通过 3.6.17. 对于后者, CG 上的做法是利用 $\tilde{\mathfrak{g}}^{t\cdot h}$ 逼近 $[T^\ast \mathcal{B}]$, 而 $\tilde{\mathfrak{g}}^{h}\simeq G/T$ 上的作用是保定向的.

(ii) 的证明关键步骤藏在了前文证明大定理之中. 考虑一个 $L_\lambda$, 他说明与 $\mathcal{O}^h_w$ structure sheaf of $\Lambda_w^h$ 将 $\pi^\ast L_\lambda$ 映到 $\pi^\ast L_{w(\lambda)}$. 而当然 $w$ 会将 $L_\lambda$ 映到 $L_{w\lambda}$ 于是得证. (但我懒得check他的argument了;w;)

(iv) Direct by 6.4.15, (iii) 的 $\mathcal{B}$ 部分 direct by (iv) 和前文关于 sign-comm. 的论证. $T^\ast \mathcal{B}$ 的部分则直接 factor through (i)(ii) 即可.

好的, 现在我们有 $W\circlearrowright H/K(\mathcal{B})$ 了. 但我们自然有一个 $H(Z)\circlearrowright H_\ast (\mathcal{B})$ given by $Z\circ \mathcal{B}=\mathcal{B}$. 根据 3.6.17, 这两个在 $H$ 上的作用实际上是一样的. 当然在 $K$-theory 上并不显然: 有

Lemma 7.3.32. $W\circlearrowright K^G(\mathcal{B})$ arising from conv. with $K^G(Z)$ expressed in terms of the std. $W$-action $K^G(\mathcal{B})$ by

其实就是那个 dot action.

Proof:

由 5.2.23 给出左半边, 由 7.3.31(ii) 给出右半边. 从而我们得到了

而在 5.4.9 我们证明了 $i^\ast i_\ast $ 是 given by tensor prod. with $\lambda(T^\ast \mathcal{B})$. 由于我们可以 view $T^\ast \mathcal{B}\simeq G\times_B\mathfrak{n}$,

有

由于 $R(\mathbb{T})$ integral domain. 我们最终得到