代数几何讨论班的准备

你看看你这个图都糊成啥了@lc

上回书说到

Proposition 2

$A$ ring, $M$ module, if $\forall i$, $1\leq i\leq r$, $x_i$ is not a zero-divisor in $M/(x_1,\cdots,x_{i-1})M$, then $H_p(\vec{x},M)=0$ for $p>0$.

实际上我们有这样的结论:

Proposition 3

$A$ ring, $M$ module, we furthermore assume $A$ is noetherian, $M$ f.g. and $x_i$ belongs to the (Jacobson) radical $J(A)$, then TFAE:

a) $H_p(\vec{x},M)=0$ for $p>0$,

b) $H_1(\vec{x},M)=0$,

c) $\forall i$, $1\leq i\leq r$, $x_i$ is not a zero-divisor in $M/(x_1,\cdots,x_{i-1})M$.

c)$\implies$ a) 已经在 Prop.2 中证过了, a)$\implies$ b) 是平凡的. 我们实际上只需要证明 b)$\implies$ c)

Prove by ind. For $r=1$, triv.

在上节课里, 我们证明过存在这样的短正合列:

$H_1(\vec{x},M)=0\implies H_0(x_i, H_1(\vec{x}’,M))=0\implies H_1(\vec{x}’,M)/x_iH_1(\vec{x}’,M)=0\implies H_1(\vec{x}’,M)=0$, c) holds for $1\leq i\leq r-1$. For $i=r$, note that $0=H_1(x_r,H_0(\vec{x}’,M))=\ker(M/\vec{x}M\overset{x_r}{\to} M/\vec{x}M)$.

目前来看, 这个定理的目的是导出如下推论:

Corollary 1

c) does not depend on the order of the sequence $\vec{x}={x_1,\cdots,x_r}$.

注意 $H_0(\vec{x},M)$ 自然地同构于 $A/\vec{x}\otimes_A M$, 利用 A-free resolution, 我们诱导了同构.

Corollary 2

Suppose that conditions a),b),c) of Prop 3 are satisfied for $A$, then the map

is an isom. for every $i$ and for every $A$-mod $M$.

这个是由于前述条件给出了 $A$ 的自由消解.

注意 $K(x,M)$ 作为外代数, 有自然的同构于 $Hom_A(K(\vec{x}),M)$. 有

于是我们有自然的映射

且同理我们有,

Corollary 3

Under the same hypothesis as in cor. 2, the map

is an isom. for every $i$ and for every $A$-mod $M$.

从目前来看, cor.2 与 cor.3 的关键在于如下定理:

Proposition 4

The annihilator of $H_i(\vec{x}, M),-\infty<i<+\infty$ contains $\vec{x}$ and $\operatorname{Ann}(M)$.

请注意这里的 $x$ 不一定是一个 regular sequence, 我们不能直接对 $A$ 搞. 考虑多项式环 $B=A[X_1,\cdots, X_r]$, 对 $A$ 和 $M$ 赋予 $B$-模结构: $X_ia=0$, $X_im=x_im$, 于是我们有

而 $(X_i)\in \operatorname{Ann} A, (x_i-X_i)\in \operatorname{Ann}M$.

我们接下来的主要目标是去研究 Koszul complex 的 filtration. 为此, 在接下来的章节里我们会假设 $(A,m)$ 是局部诺特环, $\vec{x}$ 包含在 $m$ 里, $M$ 是一个有限生成的 $A$-模使得 $l(M/\vec{x}M)<\infty$.

于是, 根据前文的 prop 4, 我们有 $H_p(\vec{x},M)$ 被 $\vec{x}+\operatorname{Ann}M$ 消灭, 于是拥有有限长度. 我们可以考虑 Euler-Poincare characteristic:

在这里, 我们要引入 Samuel 多项式的概念.

称一个函数 $f:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$ 或 $f:{n\geq n_0}\to\mathbb{Z}$ 是 polynomial-like 的, 如果存在多项式 $P_f(X)$ s.t. $f(n)=P_f(n)$ 对充分大的 $n$ 成立.

lemma

TFAE:

i) $f$ is polynomial-like;

ii) $\Delta f$ is polynomial-like;

iii) there exists $r\geq 0$ s.t. $\Delta^r f(n)=0$, for all large enough $n$.

接下来我们要介绍 Hilbert polynomial: 一个交换环 $A$ 被称作 artinian 的, 如果

(i) $A$ 作为 $A$-模有 finite length.

(ii) $A$ 是诺特的, 且任何 $A$ 的素理想都是极大理想.

我们考虑一个 graded ring $H=\oplus H_n$ 具有如下特征:

a) $H_0$ is artinian,

b) $H$ 由 $H_0$ 和 $H_1$ 中的有限多元素 $(x_1,\cdots, x_r)$ 生成.

所以 $H$ 可以看做一个多项式环商掉某个其次理想.

在这里我们可以想象 $H=gr(A)=\oplus x^n/x^{n+1}$, 然后去考虑一个 graded $H$-mod $M=\oplus M_n$. 在后面我们会让 $M_n$ 是一个比较好的东西. 但在这里我们先假设他是一个有限生成的 $H$-模. 于是每一个 $M_n$ 都是有限生成的 $H_0$ 模, 从而是 finite length 的. 我们定义函数 $n\mapsto \chi(M,n)$:

Theorem 2:(Hilbert)

$\chi(M,n)$ is a polynomial-like function of $n$ of degree $\leq r-1$.

为此, 可以假设 $H=H_0[X_1,\cdots,X_r]$, 对 $r$ 归纳.

当 $r=0$ 的时候, $M$ 是有限生成的 $H_0$ 模, 所以 $\chi(M,n)=0$, 当 $n$ 很大.

假设其已经对 $r-1$ 证明, 对 $r$, 考察 $\phi=X_r$ 定义在 $M$ 上的 endomorphism, 考虑 $N,R$ $\phi$ 的 kernel 和 cokernel, 我们有exact sequence

根据 Atiyah Prop 6.9 有 $l$ 是 additive 的, 于是 $\Delta \chi(M,n)=\chi(M,n+1)-\chi(M,n)=\chi(R,n+1)-\chi(N,n)$.

通过追图我们可以得到……

总之 $N,R$ 可以被看做有限生成的 $H_0[X_1,\cdots,X_{r-1}]$-模. 根据归纳假设证毕.

Theorem 2'

我不确定这个是否要讲, 也许写到这里应该就差不多了.

a) $\Delta^{r-1}Q(M)\leq l(M_0)$.

b) TFAE:

b1) $\Delta^{r-1}Q(M)= l(M_0)$;

b2) $\chi(M,n)=l(M_0)C^{r-1}_{n+r-1}$;

b3) the natural map $M_0\otimes_{H_0}H_0[X_1,\cdots,X_r]\to M$ is an isom.

要让讲证明就开始抄书)

Samuel polynomial是什么? 不知道, 摸了

edg打的是牛魔