代数几何讨论班的准备
你看看你这个图都糊成啥了@lc
上回书说到
Proposition 2
ring, module, if , , is not a zero-divisor in , then for .
实际上我们有这样的结论:
Proposition 3
ring, module, we furthermore assume is noetherian, f.g. and belongs to the (Jacobson) radical , then TFAE:
a) for ,
b) ,
c) , , is not a zero-divisor in .
c) a) 已经在 Prop.2 中证过了, a) b) 是平凡的. 我们实际上只需要证明 b) c)
Prove by ind. For , triv.
在上节课里, 我们证明过存在这样的短正合列:
, c) holds for . For , note that .
目前来看, 这个定理的目的是导出如下推论:
Corollary 1
c) does not depend on the order of the sequence .
注意 自然地同构于 , 利用 A-free resolution, 我们诱导了同构.
Corollary 2
Suppose that conditions a),b),c) of Prop 3 are satisfied for , then the map
is an isom. for every and for every -mod .
这个是由于前述条件给出了 的自由消解.
注意 作为外代数, 有自然的同构于 . 有
于是我们有自然的映射
且同理我们有,
Corollary 3
Under the same hypothesis as in cor. 2, the map
is an isom. for every and for every -mod .
从目前来看, cor.2 与 cor.3 的关键在于如下定理:
Proposition 4
The annihilator of contains and .
请注意这里的 不一定是一个 regular sequence, 我们不能直接对 搞. 考虑多项式环 , 对 和 赋予 -模结构: , , 于是我们有
而 .
我们接下来的主要目标是去研究 Koszul complex 的 filtration. 为此, 在接下来的章节里我们会假设 是局部诺特环, 包含在 里, 是一个有限生成的 -模使得 .
于是, 根据前文的 prop 4, 我们有 被 消灭, 于是拥有有限长度. 我们可以考虑 Euler-Poincare characteristic:
在这里, 我们要引入 Samuel 多项式的概念.
称一个函数 或 是 polynomial-like 的, 如果存在多项式 s.t. 对充分大的 成立.
lemma
TFAE:
i) is polynomial-like;
ii) is polynomial-like;
iii) there exists s.t. , for all large enough .
接下来我们要介绍 Hilbert polynomial: 一个交换环 被称作 artinian 的, 如果
(i) 作为 -模有 finite length.
(ii) 是诺特的, 且任何 的素理想都是极大理想.
我们考虑一个 graded ring 具有如下特征:
a) is artinian,
b) 由 和 中的有限多元素 生成.
所以 可以看做一个多项式环商掉某个其次理想.
在这里我们可以想象 , 然后去考虑一个 graded -mod . 在后面我们会让 是一个比较好的东西. 但在这里我们先假设他是一个有限生成的 -模. 于是每一个 都是有限生成的 模, 从而是 finite length 的. 我们定义函数 :
Theorem 2:(Hilbert)
is a polynomial-like function of of degree .
为此, 可以假设 , 对 归纳.
当 的时候, 是有限生成的 模, 所以 , 当 很大.
假设其已经对 证明, 对 , 考察 定义在 上的 endomorphism, 考虑 的 kernel 和 cokernel, 我们有exact sequence
根据 Atiyah Prop 6.9 有 是 additive 的, 于是 .
通过追图我们可以得到......
总之 可以被看做有限生成的 -模. 根据归纳假设证毕.
Theorem 2'
我不确定这个是否要讲, 也许写到这里应该就差不多了.
a) .
b) TFAE:
b1) ;
b2) ;
b3) the natural map is an isom.
要让讲证明就开始抄书)
Samuel polynomial是什么? 不知道, 摸了
edg打的是牛魔