Lectures on Riemann Surface

感觉, 把一个东西学懂的标准, 就是意识到这些东西都是 trivial 的.

吗

这是 Lectures on Riemann Surface 的 quick reference. 代数tv 在 ICBS 期间花了五天时间看完了这本书. 现在写一下他的 quick reference.

Chapter 1 Covering Spaces.

这个 Chapter 叫这个名字, 就能看出来, 他其实是很拓扑的.

就是一堆基础知识.

1. The Defn. of Riemann Surfaces.

这一章没啥可说的, 就是很基础的定义, 以及 formulate 一些复分析的内容. 注意那些复分析中比较局部的结论可以直接搬过来.

2. Elementary Properties of Holo. Mappings.

$f:X\to Y$ 在 singularities 上大致是 $f(z)=z^k$ 的形式. 这实际上就是引出了分歧 (ramification) 理论.
开映射给出, 若对于非常值 $f:X\to Y$ $X$ 紧, 则 $Y$ 紧且 $f$ 满.

这是这章两个比较重要的结论.

3. Homotopy of Curves. The Fundamental gp.

代数拓扑.. 基本群定义以下的东西.

4. Branched and Unbranched Coverings.

对于 $p:Y\to X$, 定义 $y\in Y$ branch point, 如果对于任意 $V\ni y$ $p|_V$ 都不是单射. 称有 branch pt. 的映射是 branched 的, 反之则是 unbranched 的. 熟知 unbranched 的有良好的 local homeo. 性质.

然后是一些关于 lifting 的性质. 可以跳过. 这里一个比较有营养的定理就是对于 local homeo. $f:X\to Y$, $Y$ 上面的 complex structure unique lift to $X$. 不过也是一个基础定理, 不太重要(确信).

然后是, proper 的 $f$ 如果是 local homeo. 就是 covering. 以及所有 proper 映射 counting multiplicities 下都拥有相同的 $n$ 个原像. 比较 triv.

5. The Universal Covering and Covering Transf.

simply conn. mfd 和 universal covering 的关系就跳了, 还有 Deck transf. 和 Galois covering. 我相信一个优秀的大学生应该掌握.

6. Sheaves.

看家本事, 略.

或者说, Riemann Surface 上的 sheaf theory 已经是最简单的 sheaf theory 了()

7. Analytic Continuation.

simply connected 蕴含了 unique continuation. Main Theorem 是说, 对于 $X$ R.S., $a\in X$, $\phi\in \mathcal{O}_a$ 函数芽, 于是存在一个 maximal analytic continuation 到某一个 R.S. $Y$ 上. 给出了一个函数芽-黎曼面对应.

8. Algebraic Functions.

Continuation 定理: $\pi: Y\to X$ branched $n$-sheet covering, $A\subset X$ closed discrete subset contains all critical values 且 $B=\pi^{-1}(A)$. $f\in \mathcal{O}(X\backslash A)$, (resp. $\mathcal{M}(X\backslash A)$). 定义 $f_\nu$ 为其在 deck transf. 下的像, $c_n$ 为他们生成的对称函数, 则 $f$ continued to $Y$ iff $c_n$ continued to $X$.
代数定理: 对于 $\pi:Y\to X$, $f\in \mathcal{M}(Y)$, $c_i\in \mathcal{M}(X)$ elementary symm. functions. 于是 $f$ 满足

\[f^n+(\pi^*c_1)f^{n-1}+\cdots+\pi^*c_n=0.\]

因此, $\pi^\ast :\mathcal{M}(X)\to \mathcal{M}(Y)$ 是一个 alg. field ext. of $\deg\leq n$. Moreover, 如果存在 $f\in \mathcal{M}(Y),x\in X, \pi^{-1}(x)={y_i}$, $f(y_i)$ 各不相同, 那么 $\deg=n$.

Extend 定理: $A\subset X$ closed disc. subset, $X’=X\backslash A$. 于是到 $X’$ 的 unbranched holom. covering 可以 extends to $X$ 的 branched covering.

Deck transf. 定理, 等等等等. 这些实际上, 应该不太会用到了. 这些是一些可以简单想象的拓扑.

9. Diff. forms

diff., holom. 的 diff. forms. 然后可以定义 Residue. Merom. form, 外微分的定义.

在下面会不加定义地写 $\mathcal{E}^{xxxx}$, $xxxx$ 可能是 $(1)$ $(2)$ $0,1$ $1,0$ 等等等等. 具体的定义参照书上吧.

10. Integration of Diff. Forms.

微分形式, 可以怎么进行积分. 这些直接略应该没啥问题.

11. Linear Diff. Eqn.

最最后一章我们会提到 $d\omega=A\omega$ 的 soln. system. 但实际上, 想象一下这个的解的结构应该会能想明白.

Chapter 2. Compact Riemann Surfaces.

Compact 的黎曼面, 我们会关心他精巧的几何结构. 一方面, 我们会导出一些公式, 来刻画其上面 w.r.t. 某些 sheaf 的同调. 另一方面, 我们也会考虑其上 global 的亚纯函数. 注意极大值原理告诉我们 holo. 的函数一定只有常值, 因此其 divisor 的结构唯一决定了函数本身. 因此, 也会关心这样的问题: 什么样的 divisor 会有全纯函数解. 最最后, 跳到模空间的复结构里, 引出一些模空间层面的结论.

12. Cohomology Gps.

Cochains Cocycles Coboundaries 的定义略.

微分函数的好性质: $X$ Riemann Surface

$H^1(X,\mathcal{E})=0$.

这个是 follows from 单位分解. differentiable 的函数没有那么多限制. 这点跟 holom. 的函数是本质不同的.

对于 $X$ simply conn.

$H^1(X,\mathbb{C})=0$,
$H^1(X,\mathbb{Z})=0$.

这些都是 simply conn. 的好性质. 也揭示了我们可以用 local const sheaves 来算一些(拓扑意义下?)的同调.

Leray 的 Thm 在代数几何 II 就讲过, 但是可以再复述一遍: 可以用 acyclic 的 covering 的 “Cech cohom.” 来计算一般的 sheaf 在某空间上的 cohom.

零维的 Cohom. gp., follow by defn, 就是 global section. 我们在前两天更新的 CG 也用过这个结论.

13. Dolbeault’s Lemma.

$g\in \mathcal{E}(\mathbb{C})$ compact supp. 于是存在 $f\in \mathcal{E}(\mathbb{C})$ s.t. $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=g$.
(Dolbeault Lemma) $X:={z\in \mathbb{C}:|z|<R},0<R\leq \infty$, $g\in \mathcal{E}(X)$. 于是存在 $f\in \mathcal{E}(X)$ s.t. $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=g$.
$X:={z\in \mathbb{C}:|z|<R},0<R\leq \infty$, $g\in \mathcal{E}(X)$. 于是存在 $f\in \mathcal{E}(X)$ s.t. $\Delta f=g$.

于是, 对于 $X:={z\in \mathbb{C}:|z|<R},0<R\leq \infty$, $H^1(X,\mathcal{O})=0$. 与此同时, 可以利用 $U_1\cup U_2$ covering 说明 $H^1(\mathbb{P}^1,\mathcal{O})=0$.

14. Finiteness Thm.

$X$ R.S., $Y_2\subset X$ open subset, $Y_1\subset Y_2$ open 相对紧. 于是 Restriction homo.

\[H^1(Y_2,\mathcal{O})\to H^1(Y_1,\mathcal{O})\]

has a finite dim. image.

于是推出来 $\dim H^1(X,\mathcal{O})<\infty$, 对于 $X$ 紧. 这实际上就是 genus 的定义.

而在如上条件下, 如果 $X$ non-compt, $\operatorname{im}(H^1(Y_2,\mathcal{O})\to H^1(Y_1,\mathcal{O}))=0$.

另一个定理会在讲 divisor 的时候用到 (实际上上一个定理也要用).

$Y\Subset X$ open 相对紧. 于是, 对任意 $a\in Y$, 总存在 $f\in\mathcal{M}(Y)$, $f$ 在 $a$ 处是一个 pole, 而在其余地方 holom. 这个定理能推出来很多结论, 包括 fix disc. set 上的任意取值总能搞到全局的 merom. 的 $f$, 以及其推论 noncompt. 的 ralative compt. subset 总存在 nonconst. holom.

15. The Exact Coh. Seq.

黎曼面上有一些 exact seq.

(a).

\[0\to \mathcal{O}\to \mathcal{E}\overset{d''}{\to} \mathcal{E}^{0,1}\to 0.\]

(b). $\mathcal{L}=\ker(\mathcal{E}^{(1)}\overset{d}{\to }\mathcal{E}^{(2)})$, 有

\[0\to \mathbb{C}\to \mathcal{E}\overset{d}{\to} \mathcal{L}\to 0.\]

(c).

\[0\to \mathbb{C}\to \mathcal{O}\overset{d}{\to} \Omega\to 0.\]

(d).

\[0\to \Omega\to \mathcal{E}^{1,0}\overset{d}{\to} \mathcal{E}^{(2)}\to 0.\]

(e).

\[0\to \mathbb{Z}\to \mathcal{O}\to \mathcal{O}^*\to 0.\]

于是, 拉长整合列我们得到, 对于 $0\to \mathcal{F}\overset{\alpha}{\to} \mathcal{G}\overset{\beta}{\to}\mathcal{H}\to 0$. 若 $H^1(X,\mathcal{G})=0$, 则

\[H^1(X,\mathcal{F})\simeq \mathcal{H}(X)/\beta\mathcal{G}(X).\]

这便给出了 Dolbeault’s thm (也许不要和 Dolbeault’s lemma 混淆):

\[H^1(X,\mathcal{O})\simeq \mathcal{E^{0,1}}(X)/d''\mathcal{E}(X),\]\[H^1(X,\Omega)\simeq \mathcal{E^{(2)}}(X)/d\mathcal{E}^{1,0}(X).\]

以及 de Rham’s Thm:

\[H^1(X,\mathbb{C})\simeq \operatorname{Rh}^1(X).\]

16. The Riemann-Roch Theorem.

Divisor 的定义略. 可以参考 Hartshorne 或者 CG, 虽然后者参考的也是 Hartshorne. 我们定义 $\mathcal{O}_D$ s.t. $\mathcal{O}_D(U)$ 为 $u$ 上所有 order 为 $\geq -D$ 的 mero. funct.

$X$ cpt. $\deg D<0$, 于是 $H^0(X,\mathcal{O}_D)=0$.
Riemann-Roch:

\[\dim H^0(X,\mathcal{O}_D)-\dim H^1(X,\mathcal{O}_D)=1-g+\deg D.\]

证明有一个值得注意的点, 就是

\[0\to \mathcal{O}_D\to \mathcal{O}_{D+P}\to \mathbb{C}_P\to 0.\]

的 s.e.s.

然后可以给出, 对于 $X$ genus $g$, 我们在 14 的 “另一个定理"里, 可以给出 pole 的 order 的上界 $g+1$. 也就是说, 给出了 $X$ 到 $\mathbb{P}^1$ 的不多于 $g+1$ 阶 covering.

17. The Serre Duality Theorem.

Mittag-Leffler Dist. 等等都是工具. 不多写

Divisor $D$ on compact Riemann surface $X$,

\[\iota_D:H^0(X,\Omega_{-D})\to H^1(X,\mathcal{O}_D)^*\]

是一个 isom.

这个是 given by

\[\langle,\rangle: H^0(X,\Omega_{-D})\times H^1(X,\mathcal{O}_D)\to \mathbb{C},\]\[\langle \omega, \xi\rangle=\operatorname{Res}(\omega\xi).\]

divisor of a non-vaishing merom. $1$-form $\omega$ on a cpt. genus $g$ satisfies

\[\deg(\omega)=2g-2.\]

Riemann-Hurwitz: $f:X\to Y$, $v(x,f)$ 为 $f$ 在 $x$ 处取 $f(x)$ 的 multiplicity, $b(f,x)=v(f,x)-1$ branching order, $b(f)=\sum b(f,x)$ total branching order. 于是, 对 $n$-sheet $f:X\to Y$, $X,Y$ with genus $g,g’$, 有

\[(2g-2)-n(2g'-2)=b.\]

$X$ compact R.S., $D$ divisor on $X$, 有

\[H^1(X,\mathcal{O}_D)=0,\forall \deg D>2g-2.\]

以及 $H^1(X,\mathcal{M})=0$.

$X$ compact R.S., $D$ divisor on $X$ with $\deg D\geq 2g$, 对任意 $x\in X$, 存在 $f\in \mathcal{O}_D(X)$ 有 $\mathcal{O}_{D,x}=f\mathcal{O}_x$. (globally generated).
$X$ compact, $D$ divisor of $\deg\geq 2g+1$. 取 $f_0,\cdots,f_N$ basis of $H^0(X,\mathcal{O}_D)$, 则

\[F=(f_0:\cdots:f_N):X\to \mathbb{P}^N\]

is an embedding.

18. Functions and Diff. forms with prescribed principal parts.

定义邬荣斯基(Wronskian) Determinant: 在 $X$ 上, 取 $\omega_i$ basis of $\Omega(X)$. 对于 local coord $z$, 取 $f_idz=\omega_i$. 考虑

\[W(f_1,\cdots,f_g)=\det\begin{pmatrix} f_1&f_2&\cdots&f_g\\ f_1'&f_2'&\cdots&f_g'\\ \ddots&\ddots&&\ddots\\ f_1^{(g-1)}&f_2^{(g-1)}&\cdots&f_g^{(g-1)} \end{pmatrix}.\]

这个选取和 coord. 选取只有倍数关系. 因此可以考虑其零点, 记为 Weierstrass pts.

14 中"另一个定理” pole 的 deg 可以选取 order $\leq g$ 当且仅当 $p$ 是一个 Weierstrass pt.
Weierstrass pts 记重数下恰有 $(g-1)g(g+1)$ 个.

上面那个译名是我瞎写的.

19. Harmonic Differential Forms.

对于 $\omega=\omega_1+\omega_2$, $\omega_1\in \mathcal{E}^{1,0}(X), \omega_2\in \mathcal{E}^{0,1}(X)$. 取 $\ast \omega=i(\bar{w}_1-\bar{w}_2)$. 一个 form 称作 Harmonic 的, 如果 $d\omega=d\ast \omega=0$.

$\omega$ Harmonic, iff for any $a$ there is $U$, $f$ on $U$ harmonic s.t. $\omega=df$, iff $\omega_1\in \Omega(X),\omega_2\in \bar{\Omega}(X)$.
$\dim \operatorname{Harm}^1(X)=2g$.
Every real harm. $1$-form is the real part of precisely one holom. $1$-form $\omega\in \Omega(X)$.

注意我们有厄米特型

\[\langle \omega_1,\omega_2\rangle=\int_X\omega_1\wedge *\omega_2.\]

有 orthogonal 分解

\[\mathcal{E}^{(1)}=*d\mathcal{E}(X)\oplus d\mathcal{E}(X)\oplus \operatorname{Harm}^1(X).\]

有 $\ker(\mathcal{E}^{(1)}\overset{d}{\to}\mathcal{E}^{(2)})=d\mathcal{E}(X)\oplus \operatorname{Harm}^1(X)$.

于是其诱导了映射

\[\operatorname{Harm}^1(X)\simeq H^1(X,\mathbb{C})\simeq \operatorname{Rh}^1(X).\]

20. Abel’s Theorem

$X$ compact, $D$ divisor with $\deg D=0$. 于是 $D$ 拥有一个解, 当且仅当存在 $1$-chain $c\in C_1(X)$ with $\partial c=D$ s.t.

\[\int_c\omega=0,\forall \omega\in \Omega(X).\]

21. The Jacobi Inversion Problem

取 $\omega_1,\cdots,\omega_g$ 为 $\Omega(X)$ 的一组基. 定义 Period Lattice $\operatorname{Per}(\omega_i)$ consists of

\[\left(\int_\alpha\omega_1,\int_\alpha\omega_2,\cdots,\int_\alpha\omega_g\right)\in \mathbb{C}^g, \forall \alpha\in \pi_1(X).\]

$\operatorname{Per}(\omega_i)$ 确为一个 lattice.

定义 $\operatorname{Jac}(X):=\mathbb{C}^g/\operatorname{Per}(\omega_i)$. 虽然这个定义与 $\omega_i$ 的选取有关, 但他们典范地同构. 因此我们仍然可以考虑这个 var. 称作 Jacobi var.

定义 $\operatorname{Pic}(X):=\operatorname{Div}(X)/\operatorname{Div}_{principal}(X)$, $\operatorname{Pic}_0(X):=\operatorname{Div}_0(X)/\operatorname{Div}_{principal}(X)$

可以定义 $j:\operatorname{Pic}_0(X)\to \operatorname{Jac}(X)$. 且, 其为 isom.

fix $a_i\in X$, 定义

\[\psi: X^g\to \operatorname{Pic}_0(X)\]\[\psi(x_i)=\sum_j(D_{x_j}-D_{a_j})\pmod{\operatorname{Div}_{prin.}(X)}.\]

与上述 isom 复合, 可以得到 $J:X^g\to \operatorname{Jac}(X)$.

上述 $J$ 是 surj.
对于 $g=1$ case, 上述 $J$ 是 isom.

Chapter 3. Non-compact Riemann Surfaces.

非紧的曲面, 我们关心的问题是, 他上面的性质能有多好. 首先, 由于没有极大值原理的限制, 在其上考虑 Dir. Prob. 是有道理的. 其次, 即使熟知不是所有黎曼面都能嵌入 $3$ 维, 非紧黎曼面他也 “不会太大”. Runge Approx. Thm 指出, 往 “有界的地方” 限制不会损失掉太多函数. 而在其上, 我们可以建立类似 Hadamard 的东西, 从而随便在 discrete 的层面给出全纯函数. 熟知 $\mathbb{P}^1$ 上有类似 $\mathcal{O}(n)$ 这样抽象的 line bundle, 实际上, divisor 给出了到 line bundle 的对应. 但非紧的情况下, line bundle 全部都是 trivial 的. 此外, automorphy 问题在非紧黎曼面上一定有解, 这给出了 $d\omega=A\omega$ 的解的存在性.

最后, Riemann Mapping Thm 唯一分类了所有黎曼曲面的 universal covering.

22. Dirichlet Boundary Value Problem.

本章唯一关键定理:

$Y$ open subset of a Riemann surface $X$ s.t. all boundary pts of $Y$ are regular. Then for every continuous bounded function $f:\partial Y\to \mathbb{R}$, the Dirichlet Problem on $Y$ can be solved.

Dirichlet Problem: Find $u:U\to \mathbb{R}$,

\[\begin{cases} \Delta u=0, x\in U^\circ\\ u|_{\partial U}=f. \end{cases}\]

Regular: 与 subharmonic funct. 的存在性有关. 不过,

如果 $a\in \partial Y$ s.t. $\exists D={z\in \mathbb{C}:|z-m|<r}$ with $m\in \mathbb{C},r>0$ s.t. $a\in \partial D,\bar{D}\cap Y=\emptyset$, 则 $a$ 一定是 regular 的.

具体的证明要参考 Perron’s method, 非常有趣的分析工作.

23. Countable Topology.

(Rado) Every Riemann surface $X$ has a countable topology.

我们讲的 R.S., 都 assume 是 ~~automatic~~ connected 的.

对 $X$, $Y\subset X$, 定义 $h(Y)$ 为 $Y$ 与 $X\backslash Y$ 的所有相对紧的 conn. components 的并. 称 $Y$ 是 Runge 的, 如果 $h(Y)=Y$.

$X$ R.S., $Y\subset X$ Runge, 于是 $Y$ 所有 conn. components Runge.
$X$ non-comp. R.S. Then There exists $Y_0\Subset Y_1\Subset Y_2\Subset \cdots$ relatively comp. Runge domains with $\cap Y_\nu=X$ s.t. $Y_\nu$ has a regular bdry w.r.t. solving the Dirichlet Problem.

24. Weyl’s Lemma.

为后面准备的泛函材料

-(Weyl’s lemma) $U\subset \mathbb{C}$ open. $T$ dist. with $\Delta T=0$. Then $T$ smooth.

$\partial T/\partial\bar{z}=0$, 则 $T$ holom.

25. The Runge Approximation Theorem.

$Y$ rel. comp. open Runge subset of non-comp. R.S. $X$. Then for every $Y’$ open, $Y\subset Y’\Subset X$, restriction $\mathcal{O}(Y’)\to \mathcal{O}(Y)$ is dense.
(The Runge Approximation Theorem) $X$ non-comp. R.S. $Y\subset X$ open Runge. Then every holom. function on $Y$ can be approximated uniformly on every comp. subset $Y$ by holom. funct. on $X$.
$X$ non-comp. R.S. Then given a $1$-form $\omega\in \mathcal{E}^{0,1}(X), \exists f\in \mathcal{E}(X), d’‘f=\omega$.

26. The Theorems of Mittag-Leffler and Weierstrass.

$X$ non-comp. R.S.

$H^1(X,\mathcal{O})=0$.
Every Mittag-Leffler dist. has a soln. (Mittag-Leffler, 某种意义上, 是 divisor 的"中间形式". 所以不多赘述了)
Every divisor $D\in \operatorname{Div}(X)$ is the divisor of a merom. function $f\in M^\ast (X)$.
$(a_\nu)_{\nu\in \mathbb{N}}$ no accumulation, $(c_{\nu})$ arbitrary complex num. There exists a holom. function $f\in \mathcal{O}(X)$ with $f(a_{\nu})=c_\nu$.

27. The Riemann Mapping Theorem.

(The Riemann Mapping Theorem) $X$ R.S. with $\operatorname{Rh}^1_\mathcal{O}(X)=0$. Then $X$ can be mapped biholom. onto either $\mathbb{P}^1$, $\mathbb{C}$ or $D$.

于是 $X$ 的 univ. covering 一定取这三者之一. 称这三种情况为 elliptic, parabolic 和 hyperbolic. 通过分析 autom. gp., 可以得到

elliptic: $\mathbb{P}^1$,
parabolic: $\mathbb{C},\mathbb{C}^\ast ,\mathbb{C}/\Gamma$,
hyperbolic: other Riemann surface.

一个有意思的推论:

$f:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$ non-const. holom. takes every value $c\in \mathbb{C}$ with at most one exception.

28. Functions with Prescribed Summands of Automorphy

对于一个作用 $G\circlearrowright Y$, 考虑 $f\in \mathcal{O}_Y$. 定义 $a_{\sigma}=f-\sigma f$. 则 $a_{\sigma}$ 满足 $a_{\sigma\tau}=a_\sigma+\sigma a_\tau$. 称满足这个条件的 $\sigma\mapsto a_\sigma$ 为一个 crossed homom.

$X,Y$ non-compt R.S. $p:Y\to X$ holom. unbranched Gal. covering. $G=\operatorname{Deck}(Y/X)$. 于是对任意 crossed homom. $G\to \mathcal{O}(Y)$, 都存在 holom. function $f\in \mathcal{O}(Y)$ s.t. $a_{\sigma}=f-\sigma f$.
$X,Y$ R.S. $p:Y\to X$ holom. unbranched Gal. covering. $G=\operatorname{Deck}(Y/X)$. 于是对任意 crossed homom. $G\to \mathcal{E}(Y)$, 都存在 holom. function $f\in \mathcal{E}(Y)$ s.t. $a_{\sigma}=f-\sigma f$.
(Behnke-Stein) $X$ non-comp. R.S.,

\[\pi_1(X)\to \mathbb{C}_+,\sigma\mapsto a_\sigma,\]

gp. homo. Then there exists a holom. $1$-form $\omega\in \Omega(X)$ with

\[\int_{\sigma}\omega=a_\sigma,\forall \sigma\in \pi_1(X).\]

$X$ comp. R.S.,

\[\pi_1(X)\to \mathbb{C}_+,\sigma\mapsto a_\sigma,\]

gp. homo. Then there exists a unique harmonic $1$-form $\omega\in \operatorname{Harm}^1(X)$ with

\[\int_{\sigma}\omega=a_\sigma,\forall \sigma\in \pi_1(X).\]

29. Line and Vector Bundles.

V.B. 和 L.B. 的定义略. 只需要知道一个满足 $g_{ij}g_{jk}=g_{ik}$ 的一组 cocycle $(g_{ij})$ 就能给出一个 line bundle.

对与 $D$ divisor on $X$, 我们可以定义 $E_D$ 一个 holom. L.B. on $X$. 在 $(U_i)$ 上考虑 $\Psi_i$ s.t. $\operatorname{ord}(\Psi_i)=D|_{U_i}$. 于是考虑 $g_{ij}=\frac{\Psi_i}{\Psi_j}$ 给出的一组 holom. cocycle, 就给出了一个 line bundle.

$X$ R.S. $E$ holom. V.B. $Y\subset X$ rel.comp. open, $Y_0\subset Y$ open. Then the restriction $H^1(Y,\mathcal{O}_E)\to H^1(Y_0,\mathcal{O}_E)$ surj.
$X$ R.S. $E$ holom. V.B. $Y\subset X$ rel.comp. open. Then $H^1(Y,\mathcal{O}_E)$ f.d.
$X$ comp. R.S. $E$ holom. V.B. $Y\subset X$ rel.comp. open. Then $H^1(X,\mathcal{O}_E)$ f.d.

对于 $E$, 在 $Y\subset X$ open 上总是可以找到这样的 sections: $f\in\mathcal{O}_{E}(Y’)$, 且 $Y\backslash Y’$ discrete. $f$ 在每个 $a\in Y\backslash Y’$ 上都是一个 pole.

$E,X$. $Y$ rel. comp. on $X$. 于是对任意 $a\in Y$ 总存在 merom. section $\Psi$ of $E$ over $Y$, which has a pole at $a$ and holom. on $Y\backslash {a}$.

考虑 $\Psi$ 的 divisor, 给出了某个 line bundle 到 divisor 的对应.

考虑 $\operatorname{Pic}(X)=\operatorname{Div}(X)/\operatorname{Div}_{principal}(X)$,

$X$ comp. R.S., there is a natural isom of gps

\[H^1(X,\mathcal{O}^*)\overset{\simeq}{\to}\operatorname{Pic}(X)=\operatorname{Div}(X)/\operatorname{Div}_{principal}(X).\]

30. The Triviality of Vector Bundles.

大 Theorem 是一个很几何的东西, 比较 trivial, 就不写了. 考虑$X$ non-comp. R.S.

Every holom. L.B. $E$ on $X$ is holomorphically trivial.
Every holom. V.B. $E$ on $X$ is holomorphically trivial.
$H^1(X,\operatorname{GL}(n,\mathcal{O}))=0$. In particular, $H^1(X,\operatorname{GL}(n,\mathcal{O}^\ast ))=0$.

31. The Riemann-Hilbert Problem.

$p:Y\to X$ holom. unbranched covering. $G$ deck transf. 称 $\Phi:Y\to \operatorname{GL}(n,\mathbb{C})$ 是 “multiplicatively automorphic with constant factors of automorphy $T_\sigma\in \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}),\sigma\in G$” 的, 如果

\[\sigma \Phi=\Phi T_{\sigma},\forall \sigma\in G.\]

$X,Y$ non-comp. R.S. $p:X\to Y$ holom. unbranched Gal. covering. $G=\operatorname{Deck}(Y/X)$. Then given any homom.

\[T:G\to \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}),\sigma\mapsto T_\sigma.\]

There exists $\Phi:Y\to \operatorname{GL}(n,\mathbb{C})$, MAWCFOA $T_\sigma$.

$X$ non-comp. R.S.

\[T:\pi_1(X)\to \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}),\sigma\mapsto T_\sigma.\]

gp. homo. Then there exists $A\in M(n\times n,\Omega(X))$ and a fundamental system of solns. of the D.E. $d\omega=A\omega$ on the universal covering of $X$ which has the $T_\sigma$ as factors of automorphy.

$X$ non-comp. R.S. $S\subset X$ discrete. $X’=X\backslash S$. Suppose

\[T:\pi_1(X')\to \operatorname{GL}(n,\mathbb{C}),\sigma\mapsto T_\sigma.\]

gp. homo. Then there exists $A\in M(n\times n,\Omega(X’))$ which has a singular pt. at every $a\in S$ and a fundamental system of solns. $\Phi\in \text{GL}(n,\mathcal{O}(Y))$ of the D.E. $d\omega=A\omega$ on the universal covering $p:Y\to X’$ which has the $T_\sigma$ as factors of automorphy.