接下来是 tensor product
这个就很贴近于几何表示论的构造了. 考虑 $X,Y$ $G$-var. 我们考虑
\[\boxtimes :(\mathcal{F},\mathcal{F}^\prime)\mapsto \mathcal{F}\boxtimes \mathcal{F}^\prime:=p_X^* \mathcal{F}\otimes p_Y^*\mathcal{F}^\prime.\]这个 functor 是 exact 的. 那么这个诱导了
\[K^G(X)\otimes_\mathbb{Z} K^G(Y)\to K^G(X\times Y).\]- 考虑 $X=Y$ 的 case, 这实际上给出了类似 intersection pairing 的结构! 考虑 embedding $\Delta:X_\Delta\hookrightarrow X\times X$. 通过
我们给出了 bilinear 的 $R(G)$-mod homo. 这实际上给出了
\[K^G(X)\otimes K^G(X)\to K^G(X).\]注意这个实际上只给出了 smooth var. 上的构造. 于是我们给出了 $K^G(X)$ 一个 commutative associative $R(G)$-alg. 的结构.
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with support 的 case. 这个case 就跟上面的比较类似. 对于 $Z,Z^\prime\subset X,\mathcal{F}\ni K^G(Z),\mathcal{F}^\prime\in K^G(Z^\prime)$, 仍旧考虑 $\Delta^\ast (\mathcal{F}\boxtimes \mathcal{F}^\prime)$ 即可.
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tensor. with a vector bundle.
对于 $X$ quasi-proj. $G$-var. $E$ $G$-equiv v.b. 有
\[E\otimes_{\mathcal{O}_X}:\mathcal{C}oh^G(X)\to \mathcal{C}oh^G(X)\]是 exact 的. 于是诱导了
\[E\otimes :K_i^G(X)\to K_i^G(X).\]他在这里怎么又 typo 了..
那 pullback, tensor 搞定 (并非完全搞定) 了, pushforward 这一块呢?
对于 $f:X\to Y$ normal morph of quasi-proj, 你当然希望去考虑
\[f_*:K^G(X)\to K^G(Y).\]\[[\mathcal{F}]\mapsto [f_*\mathcal{F}].\]but, 这有一个问题, 对于一个一般的这样的函子,
\[0\to \mathcal{F}^\prime\to \mathcal{F}\to \mathcal{F}^{\prime\prime}\to 0,\]这可不一定是 exact 的. 为此, 考虑 $X=\mathbb{P}^1, Y={\operatorname{pt}}$. $Z={x}\subset X$, $U=X-Z$. 考虑
$\mathcal{F}^\prime=j_!(\mathcal{F}|_{U})$, “extend by zero”.
$\mathcal{F}={\text{holo. funct.}}$.
$\mathcal{F}^{\prime\prime}={\text{Skyscraper sheaf of }\mathcal{F}_x \text{ on }x}$.
这个构造实际上就是来自 Hartshorne II Ex.1.19. 在这种情况下, 去考虑 $f_\ast $ 在 $y$ 处的 stalk, 我们得到
\[0\to \mathbb{C}\to \mathcal{F}_x.\]这当然不是 exact 的. 因此, 这个函子不是 exact 的.
那咋办呢? 我们定义
\[f_*[\mathcal{F}]=\sum(-1)^i[R^if_*\mathcal{F}].\]这下根据代数几何II的知识, 这个就 exact 了.
现在考虑
\[X\overset{i\text{closed}}{\hookrightarrow} Y\overset{j,\text{open}}{\hookleftarrow} Y-X.\]在 5.1.26(其实还要加上27) 中, 我们 identify 了 $\mathcal{C}oh^G(U)=\mathcal{C}oh^G(X)/\mathcal{C}oh^G(Z)$. 于是根据 Quillen 的一个 result 我们有 l.e.s
\[\cdots\to K_i^G(X)\overset{i_*}{\to} K_i^G(Y)\overset{j^*}{\to} K_i^G(U)\to K_{i-1}^G(X)\to \cdots.\]接下来是 equiv. descent. 他开头讲的这一系列大概就是关于 Zar. top 和 etale top 的一些哲学. 感觉暂时跳了问题也不大.
给定 $\pi:P\to X$ principal $G$-bundle. 我们有 canonical equiv
\[\mathcal{C}oh(X)\overset{\sim}{\to}\mathcal{C}oh^G(P).\](SGA, 要求 $\pi$ flat). 于是其给出 canonical gp. isom
\[\pi^*:K(X)\overset{\sim}{\to }K^G(P).\]这就是 equiv. descent.
考虑 $H\subset G$ closed alg. subgp. $H\circlearrowright X$. 考虑 $G\times_H X$ orbit space of $(g,x)\sim(gh^{-1},hx).$ 那么有一个结论是 $G\times_HX$ 也有自然的代数簇结构. 这个并不 trivial. 你可以看到 $X={\operatorname{pt}}$ 的 case 就是喜闻乐见的 $G/H$. 我们先承认这个事情.
我们有, $G\times X\to G$ induces $G\times_H X\to G/H$, 而这是一个 fibration with fiber $X$. 于是 fix $e\in G/H$, 对于 $\mathcal{G}$ $G$-equiv. sheaf 我们可以考虑其 restrict 到 $e$ 上, 得到 $\operatorname{res}\mathcal{G}$. 我们诱导了 exact functor
\[\operatorname{res}:\mathcal{C}oh^G(G\times_H X)\to \mathcal{C}oh^H(X).\]你可以想象这是一个 equivalence, 因为你可以往 $G\times_HX$ 上 induce 这个 bundle. 具体的构造则是这样的: 考虑
首先把 $H$-equiv 的 $\mathcal{F}$ 拉到 $G\times X$ 上, 得到在 $H$-diag. 作用下 equiv. 的 $p^\ast \mathcal{F}$. 然后通过 descent 得到 $G\times_H X$ 上的 Coh. bundle.
\[\mathcal{C}oh(G\times_H X)\overset{\sim}{\to }\mathcal{C}oh^H(G\times X).\]而由于 $G$ 自然地左作用在 $G\times X$ 上. 我们得到的 $p^\ast \mathcal{F}$ 是 $G$-等变的. 于是 descent 得到的自然也是 $G$-等变的. 而根据 direct check, 这么定义出来的 Ind 确实是 res 的逆.
再写一页, 把 Reduction 写了, 然后给 Convolution prod. 开个头, 就可以再搞一篇上去了.
全部弾きない！
不知不觉又拖了一天orz
入党还是太麻烦了
现在我们要考虑 $G=R\ltimes U$, 对 $X$ $G$-equiv. sheaf, $R\hookrightarrow G$ 给出了 $K_i^G(X)\to K^R_i(X)$. 我们的 Claim 是, 这是一个 isom.
注意, $X$ 上有 $G$-equiv 结构. 于是我们有 isom.
\[p\boxtimes a:G\times_RX\to (G/R)\times X,\]\[(g,x)\mapsto(\bar{g},gx),\]\[(g,g^{-1}x)\leftarrow(\bar{g},x).\]by 仔细的 check, 你会发现他是 well-def. 的
于是, 我们有
\[K^R(X)\simeq K^G(G\times_RX)\simeq K^G((G/R)\times X).\]而, $(G/R)\times X\to X$ induce 了 $K^G(X)\to K^G((G/R)\times X)$ by $\mathcal{F}\mapsto \mathcal{O}_{G/R}\boxtimes \mathcal{F}$. 我们希望说明这是一个 isom.
这个要用到一个叫 Thom isom 的 material. 具体来说就是, 考虑 $G/R\simeq U$. $U$ $G$-space by conj. 我们取 central series of $U$
\[U=U^0\supset U^1\supset \cdots\supset U^n=\{e\},U^{i+1}=[U^i,U^i].\]于是, $U^i$ $\operatorname{Ad}G$-stable. 有 $\pi_i:U/U^i\to U/U^{i-1}$ non-canonically trivial fibration with affine space. 于是根据 Thom isom,
\[\pi_i^*:K^G(U/U^{i-1}\times X)\overset{\sim}{\to} K^G(U/U^{i}\times X).\]然后归纳就做完了.