这个世界这个大学圈子怎么这么乱..
对于搞研究的人来说, 研究本身才是一切的厚势.
莫忆魑魅魍魉忆江南.
事已至此, 不具体介绍一下 Borel-Moore 的 Convolution prod. 恐怕不行.
对于 $M_1,M_2,M_3$, 考虑 $p_{ij}:M_1\times M_2\times M_3\to M_i\times M_j$ proj, $d=\dim M_2$, 定义 convolution prod
\[\Omega^i(M_1\times M_2)\otimes\Omega^j(M_2\times M_3)\to \Omega^{i+j-d}(M_1\times M_3).\]\[f_{12}\ast f_{23}=\int_{M_2}p_{12}^*f_{12}\wedge p_{23}^*f_{23}.\]这便诱导了
\[H^i(M_1\times M_2)\otimes H^j(M_2\times M_3)\to H^{i+j-d}(M_1\times M_3).\]通过 Poincare dual. transp. to homology case.
而一个 alternative defn 是这么给出的: 对于
\[Z_{12}\subset M_1\times M_2, Z_{23}\supset -,\]$G$-stable closed subvar, 定义
\[Z_{12}\circ Z_{23}=p_{13}(p_{12}^{-1}(Z_{12})\cap p_{23}^{-1}(Z_{23})).\]这似乎就是一个比较好的convolution 定义(). 在这里, 如果
\[p_{13}:p_{12}^{-1}(Z_{12})\cap p_{23}^{-1}(Z_{23})\to M_1\times M_3\]proper, 对于 $\mathcal{F}_{12}\in K^{G}(Z_{12}),\mathcal{F}_{23}\in -$. 有 $p_{12}^\ast \mathcal{F}_{12}\otimes p_{23}^\ast \mathcal{F}_{23}$ well-def. 然后, 你应该相信求积分 morelessly 就是 push forward, 而 proper 性保证了 $(p_{13})_\ast $ well-def. 于是定义
\[\mathcal{F}_{12}*\mathcal{F}_{23}=(p_{13})_*(p_{12}^*\mathcal{F}_{12}\otimes p_{23}^*\mathcal{F}_{23})\in K^G(Z_{12}\circ Z_{23}).\]这便给出了 convol. map
\[K^G(Z_{12})\otimes K^G(Z_{23})\to K^G(Z_{12}\circ Z_{23}).\]后面跟了个 Remark. 是说对于 $M_i$ finite sets, $G=1$, 那么考虑 $\mathcal{F}_{ij}$ sheaf on $Z_{ij}$, 考虑
\[f_{[\mathcal{F}]}:(m,n)\mapsto \dim \mathcal{F}(m,n)\]则有
\[f_{[\mathcal{F}_{12}*\mathcal{F}_{23}]}=f_{\mathcal{F}_{12}}*f_{\mathcal{F}_{23}}.\]其中后面的卷积, 就是来自
\[(f_{\mathcal{F}_{12}}*f_{\mathcal{F}_{23}})(m_1,m_3)=\sum_{m_2,(m_1,m_2)\in-,(m_2,m_3)\in-}f_{12}(m_1,m_2)f_{23}(m_2,m_3).\]接下来这个 lemma 是说, 如果 $\epsilon:\tilde{Z}_{23}\hookrightarrow Z_{23}$ $G$-equiv. closed embedding. 那么
\[\epsilon: Z_{12}\circ \tilde{Z}_{23}\hookrightarrow Z_{12}\circ Z_{23}\]$G$-equiv. closed embedding. 有
Lemma 5.2.23: The following diag commutes:
我们要考虑的 case 是 $M_1=M_2=M$, $M_3=pt$. 在这种情况下 $Z=Z_{12}\hookrightarrow M\times M$, $\tilde{Y}=\tilde{Z}_{23}\subset Y=Z_{23}\subset M$ 给出了 compactible 的 $K^G(Z)$-action on $K^G(\tilde{Y})$ and $K^G(Y)$.
在 $X,X,X$ setting 下, clearly $X_{\Delta}\circ X_{\Delta}=X_{\Delta}$. 于是 conv. map
\[K^G(X_{\Delta})\times K^G(X_{\Delta})\to K^G(X_{\Delta})\]well-def. 而, 由于 $X_\Delta$ smooth, 我们可以定义 tensor prod. 你可以简单地验证 tensor prod. 和 convol. prod. 是等价的(Cor 5.2.25.)
然后是 Duality Pairing, 首先, 考虑 $X$ proj. $G$-var. 由于 $p:X\to pt$ proj. of $X$ to a pt. 于是 $p$ proper $G$-equiv. 于是 direct image (也许有点像 evaluation? 不知道)
\[p_*:K^G(X)\to K^G(pt)=R(G).\]$R(G)$-linear map. 于是, 我们可以 introduce bilinear pairing:
\[\mathcal{F},\mathcal{F}'\mapsto p_*([\mathcal{F}]\otimes [\mathcal{F}']).\]注意右侧那个是 $K$-理论中的 tensor prod.
更一般的, 对于 $Y,Y’\subset X$ s.t. $Y\cap Y’$ compact, 但 $X,Y,Y’$ 本身不一定, 我们同样可以 def. $K^G(Y’)\times K^G(Y’’)\to R(G)$.
考虑 $M_1,M_2,M_3$, $Y’,Y’’\subset M_2$, $Y’\cap Y’’$ 非空 compact. 于是 $(M_1\times Y’)\circ (Y’’\times M_3)=M_1\times M_3$, 而 corresp. conv. map:
\[*:K^G(M_1\times Y')\times K^G(Y''\times M_3)\to K^G(M_1\times M_3).\]而, 他的具体计算算这边第一个非平凡的命题?
Lemma 5.2.28: $\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_3\in K^G(M_-)$, $\mathscr{G}’,\mathscr{G}’’\in K^G(Y^-)$, then
\[(\mathcal{F}_1\boxtimes \mathscr{G}')*(\mathscr{G}''\boxtimes \mathcal{F}_3)=\langle \mathscr{G}',\mathscr{G}''\rangle\cdot (\mathcal{F}_1\boxtimes\mathcal{F}_3),\]where $\langle \mathscr{G}’,\mathscr{G}’’\rangle\in R(G)$ 作用在 $K^G(M_1\times M_3)$ 上.
这个是 projection formula 的推论. 上过几何表示论I的应该不会对 projection formula 陌生. 但是在 CG setting 下的 pf 还是要等 5.3 开()
本章应该以两个 Thm 收尾. 其一是 5.2.30 的 Proj. Bundle Theorem. $E\to X$ $G$-equiv. $n$-diml (alg.) vector bundle on a $G$-var. $X$, $\pi:\mathbb{P}(E)\to X$ associated proj. bundle with fiber $\mathbb{P}^{n-1}$. For each $k\in \mathbb{Z}$ there is a natural $G$-equiv. line bundle $\mathcal{O}(k)$ on $\mathbb{P}(E)$ whose germs of sections are the germs of reg funct. on $E\setminus (\text{zero-section})$ that are homog. of deg. $k$ along the fibers.
Thm 5.2.31. For each $j\geq 0$, $K_i^G(\mathbb{P}(E))$ 由 $[\mathcal{O}(k)]$ 自由生成 over $K_j^G(X)$. 也就是说, 任意 $\mathcal{F}\in K_j^G(\mathbb{P}(E))$ 都 has a unique repn of the form
\[\mathcal{F}=\sum_{k=0}^{n-1}\mathcal{O}(k)\otimes \pi^*\mathcal{F}_k, \mathcal{F}_k\in K_j^G(X).\]在 5.6 会给一个 modern proof. 虽然我不一定到时候会写就是了.
5.2 也拖得有点久了 sad.
不知道 5.3 会怎么样. 我还是很想在9月前把 5.x 都清了的.