Kunneth Formula!
对于 $X$, write $\Delta\in K^G(X\times X)$ 其 diagnal 的 structure sheaf. 特别地, 对于 $X$ smooth compact, 我们还有 convolution map $K^G(Y\times X)\otimes K^G(X)\to K^G(Y)$.
Theorem 5.6.1. $G$ linear alg. gp., $X$ smooth proj. $G$-var. TFAE:
(a) The natural map
\[\pi:K^G(X)\otimes_{R(G)} K^G(Y)\to K^G(X\times Y), (\mathcal{F},\mathcal{G})\mapsto \mathcal{F}\boxtimes \mathcal{G}\]is isom. for an arbitrary $G$-var. $Y$.
(b) The class $\Delta\in K^G(X\times X)$ belongs to the im. of $\pi$ for $Y=X$.
(c) $K^G(X)$ f.g. proj. $R(G)$-mod, and for any $G$-var. $Y$, the hom. induced by conv. is an isom
\[K^G(Y\times X)\to \operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X),K^G(Y)).\](d) $K^G(X)$ f.g. proj. $R(G)$-mod, $K^G(X\times X)$ f.g. proj. $R(G)$-mod. s.t. $\operatorname{rank} K^G(X\times X)=(\operatorname{rank} K^G(X))^2$ and moreover, the bilinear mapping
\[\langle,\rangle:K^G(X)\times K^G(X)\to R(G),\]is non-deg. in the sense explained below.
给出这个定理的证明是这一章要做的全部事情.
为此, 我们再引入 4 个 intermediate steps()
(1) $\forall R(G)$-mod $M$, the map
\[K^G(X)\otimes_{R(G)}M\to \operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X),M),\]\[a\otimes m\mapsto \langle\cdot,a\rangle m\]is surj. and $\pi$ in (a) is surj.
(2) (i) $K^G(X)$ f.g. proj. $R(G)$-mod, and
(ii) (1) holds for all $M=K^G(Y)$ and
(iii) $\pi$ surj.
(3) (i) $K^G(X)$ proj. (ii) $K^G(X)\to K^G(X)^\vee$ surj. (iv) $\pi$ surj.
(iii) $K^G(Y)\otimes_{R(G)}K^G(X)\to \operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X),K^G(Y))$ surj.
(4) (i) $K^G(X)$ proj. (ii) $K^G(X)\simeq K^G(X)^\vee$, (iv) $\pi$ surj.
(iii) $K^G(Y\times X)\overset{\rho}{\to} \operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X),K^G(Y))$ surj.
我们的前进路线是
\[(a)\implies (b)\implies (1)\implies (2)\implies (3)\implies (4)\implies (c)\implies (a),\]\[(a)\iff (d).\]第一步 $(a)\implies (b)$ 是容易的: 取 $X=Y$ 即可.
$(b)\implies (1)$: 记 $\Delta=\sum \delta_i\boxtimes \delta^i$, 一方面讲, $\Delta \ast a=a,\forall a\in K^G(X\times Y),$ 另一方面讲, 通过 5.2.28 的证明, 有
\[(\delta_i\boxtimes \delta^i)*a=\delta_i\boxtimes (p_Y)_*(p_X^*\delta^i\otimes a).\]于是
\[a=\sum_i \delta_i\boxtimes (p_Y)_*(p_X^*\delta^i\otimes a)\in K^G(X)\otimes K^G(Y).\]因此 $(1)(ii)$ 成立. 而, 取 $Y=pt$, 回忆 $\langle \mathcal{F},\mathcal{F}’\rangle=p_\ast (\mathcal{F}\otimes\mathcal{F}’)$, 对 $a\in K^G(X)$, 有 $a=\sum \langle \delta^i,a\rangle \delta_i$. 于是, 对于 $f\in \operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X),M)$,
\[f(a)=\sum \langle \delta^i,a\rangle f(\delta_i).\]$(1)\implies (2): $ (ii)(iii) triv. 对于 (i), 我们需要说明 $\operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X),\cdot)$ exact. 显然, 这个只需要 check right exact 的部分, 也就是说, $M\twoheadrightarrow N\implies \operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X),M)\twoheadrightarrow \operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X),N)$. 而熟知 $K^G(X)\otimes-$ 是 right exact 的. by (1) 和如下 comm. diag. 就做完了.
$(2)\implies (3):$ 那还说啥呢, 取 $Y=pt$ 就完了呗. 这个条件也太性情了.
$(3)\implies (4):$ 考虑 $K^G(X)\to K^G(X)^\vee$ surj, 如果 $a\in \ker$, 那么 $\langle a,\delta^i \rangle=0$. 于是, $a=\sum \delta_i\langle \delta^i,a\rangle=0$. (iii) 只需注意 $K^G(Y)\otimes_{R(G)}K^G(X)\to \operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X),K^G(Y))$ factor through $K^G(Y\times X)$ 即可.
$(4)\implies (c):$ 首先我们有, $M$ proj. $\implies M^\vee$ proj. 且,
\[\operatorname{Hom}_{R(G)}(M^\vee,-)\simeq M\otimes_{R(G)}(-).\]于是, 有
\[\operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X)^\vee,M)= K^G(X)\otimes_{R(G)}M.\]因此, 我们有
通过 5.2.28 的计算, 我们可以看出 $\rho\circ \pi=\operatorname{id}$. 而, $\pi$ surj. 因此 $\pi,\rho$ 都是 isom, 得证.
$(c)\implies (a): $ $K^G(X)$ f.g. proj. implies 了 $\operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(X)^\vee,K^G(Y))= K^G(X)\otimes_{R(G)}K^G(Y)$. 而 5.6.3 中的 comp 是 identity 的性质是由 5.2.28 给出的, 依然成立. 因此 $\rho$ isom $\implies \pi$ isom.
$(a)\implies (d)$: 有 $K^G(X)\otimes_{R(G)}K^G(X)\simeq K^G(X\times X)$, 因此 $K^G(X\times X)$ proj. $\operatorname{rank}=(\operatorname{rank} K^G(X))^2$. 而 $\langle,\rangle$ nondeg. 则是因为 (4)(ii).
$(d)\implies (a)$: $\langle,\rangle$ nondeg. 加上 $K^G(X)$ f.g. proj. $R(G)$-mod. 我们可以构造 $\rho: K^G(X\times X)\to K^G(X)\otimes_{R(G)}K^G(X)$. 于是 $\rho(\pi(a\otimes b))=a\otimes b$. 于是 $\rho$ surj. 而 proj., same rank 加上 surj. implies 了 isom. 得证.