Chern Character!
$X$ closed subvar. of a smooth quasi-proj. var. $M$. 我们要定义 homology Chern char. map for the non-equiv. $K$-theory
\[\operatorname{ch}:K(X)\to H_*(X,\mathbb{C}).\]这个涉及到 ambient var. $M$. 给出这个定义不是一个简单的事情()
第一步: $E$ $C^\infty$-vector bundle on $M$. 我们忽略 $M$ 上的 complex structure, 记 $\Omega^i(M)$ vector space of $C^\infty$-forms of deg. $i$, 记 $\Omega^i(E)$ v.s. of $E$-valued $C^\infty$-forms, i.e. $C^\infty$-sections of $E\otimes \Omega^i$. 由于 partition of unity, 我们可以构造出 smooth connection on $E$,
\[\nabla:C^\infty(E)\to \Omega^1(E),\]\[\nabla(f\cdot s)=df\cdot s+f\cdot \nabla s.\]而这个 connection 可以 canonically extend to $\nabla:\Omega^i(E)\to \Omega^{i+1}(E),i\geq 0$. Furthermore, 通过一些简单的计算可以得到
\[\nabla^2=\nabla\circ \nabla:C^\infty(E)\to \Omega^2(E)\]是 $C^\infty(M)$-linear 的. 也就是说, given by $s\mapsto \omega(s)$, $\omega\in \Omega^2(\operatorname{End} E)$. $\omega$ 称作 connection $\nabla$ 给出的 curvature-form.
于是, cohomology Chern char. of $E$ 定义为 de Rham cohomology class
\[\operatorname{ch}^*(E,\nabla):=\operatorname{Tr}(e^{i\omega/2\pi})=\operatorname{Tr}(1+\frac{i}{2\pi}\omega+\frac{1}{2!}(\frac{i}{2\pi})^2\cdot \omega\wedge \omega+\cdots).\]定义 homoloy Chern char. by Poincare dual.
\[\operatorname{ch}(E)=\operatorname{ch}^*(E)\cap [M]\in H_*(M).\]第二步: 对于 $U$ open dense subse of $M$. 我们有 restriction map 给出了 de Rham complexes
\[\Omega^\cdot(M)\to \Omega^\cdot(U).\]这个 morph. 是 inj. 的. 于是我们可以将 $\Omega^\cdot (M)$ 视作 $\Omega^\cdot(U)$ 的 sub. 现在, 定义
\[\Omega^i(M,U):=\Omega^{i-1}(U)/\Omega^{i-1}(M),\]有
\[0\to \Omega^\cdot(M)\to \Omega^\cdot(U)\to \Omega^\cdot(U)/\Omega^\cdot(M)\to 0.\]于是给出 cohom. 的 long exact seq.
\[\cdots\to H^i(\Omega^\cdot(M,U))\to H^i(\Omega^\cdot(M))\to H^i(\Omega^\cdot(U))\to H^{i+1}(\Omega^\cdot(M,U))\to \cdots\]有, 根据 de Rham Thm, $H^i(\Omega^i(M))=H^i(M)$ and $H^i(\Omega^\cdot(U))$. 于是, 根据 derived cat. 中的 mapping-cone construction, 有
Prop 5.8.5. There is a natural isom.
\[H^i(\Omega^\cdot(M,U))\simeq H^i(M,U)\]so that the long exact seq. becomes the std. cohom. exact seq. of $(M,U)$.
接下来, 如下定义 multiplication:
\[\cup:H^i(\Omega^\cdot(M,U))\times H^j(\Omega^\cdot(M,U))\to H^{i+j}(\Omega^\cdot(M,U)).\]对于 $\alpha\in \Omega^{i-1}(U)$ 为 $[\alpha]$ 的一个 representative, 以及 $\beta\in \Omega^{j-1}$ 同样的 setting. 满足 $\beta,\alpha$ 是 cocycle i.e. $d\alpha\in \Omega^i(M),d\beta\cdots$. 现在, 定义
\[[\alpha]\cup[\beta]=[\alpha\wedge d\beta].\]可以验证, 这个定义是良定义的, 且
\[[\alpha]\cup[\beta]+(-1)^{ij}[\beta]\cup [\alpha]=0\]此外, 这个 multiplication 在 5.8.5 那个 mapping-cone 的定义下定义的 $\cup$ 是相同的.
第三步: 明天再修()
开修! Chern-Simons 楼.
$U$ open dense subset of $M$, $E,E’$ two $C^\infty$-v.b. on $M$, $u:E|_{U}\overset{\sim}{\to} E’|_{U}$ v.b. isom of the restrictions to $U$.
我们需要对这样的 $E,E’$, 给出一个 $\operatorname{ch}(E,E’,u)$ in $H^\ast (M,U)$ s.t. $\partial \operatorname{ch}(E,E’,u)=\operatorname{ch}(E)-\operatorname{ch}(E’)\in H^\ast (M)$. with $\partial$ connecting homo.
现在, 取 explicit representative of these class, 并选择 $\nabla,\nabla’$ 为 $E,E’$ 上的 connection. 于是, 在 $U$ 上, 有
\[u^*(\nabla')=\nabla-\theta,\]with $\theta$ $(\operatorname{End} E)$-valued $1$-form on $U$. 取 $\omega,\omega’$ 其对应的 curvature form, 有
\[u^*(\omega')=\omega-\nabla(\theta)+\theta\wedge \theta.\]注意 $\nabla-\theta$ 同样构成 $E|_U$ 上的 connection, 有, 两个不同的 connections 给出了 相同的 Chern char. form.
\[\operatorname{ch}(E|_U,\nabla-\theta)-\operatorname{ch}(E|_{U},\nabla)=d\beta,\beta\in \Omega^\cdot(U).\]实际上, 这个 $\beta$ 是可以被计算的. 考虑 $\tilde{U}=U\times [0,1]$, $\pi:\tilde{U}\to U$ natural proj, $\tilde{E}=\pi^\ast E$. 于是, 在 $\tilde{E}$ 上, 定义
\[\tilde{\nabla}=\nabla-t\cdot\theta+dt\wedge \frac{d}{dt}.\]于是, Chern-Simons form 由 $\beta=\pi_\ast \operatorname{Tr}(e^{\frac{i}{2\pi}\tilde{\nabla}^2})$ 给出. 这里的 $\pi_\ast $ 表示 intergral of Chern char. form $\operatorname{ch}(\tilde{E},\tilde{\nabla})=\operatorname{Tr}(e^{\frac{i}{2\pi}\tilde{\nabla}^2})$ along the fibers of $\pi$.
对于 $A,B\in M_n(\mathbb{C})$, 定义
\[\Phi(A,B)=\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k-1)!}(\frac{i}{2\pi})^k\operatorname{Tr}(A\cdot B^{k-1}).\]有
Lemma 5.8.9. There are
\[\beta=\int_0^1\operatorname{Tr}(\theta e^{\frac{i\cdot \nabla-it\theta^2}{2\pi}})=\int_0^1\Phi(\nabla(\theta)-t\cdot \theta\wedge \theta,\omega-t\cdot \nabla(\theta)+t^2\cdot \theta\wedge \theta).\]现在, 由于 $\operatorname{ch}(E|_{U},\nabla-\theta)=\operatorname{ch}(E’,\nabla’)|_{U}$, 我们有
\[d\beta=[\operatorname{ch}(E',\nabla')-\operatorname{ch}(E,\nabla)]|_{U}.\]现在, 由于右侧式子能扩展到整个 $M$ 上, $\beta$ 是一个 cocycle. 于是, 我们定义 $\operatorname{ch}^\ast (E’,E,u)$ 为该 cocycle 对应的 cohomology class.
事实上, 这个 $[\beta]$ 的选取与 $\nabla,\nabla’$ 无关. 这是一个微分几何的结论.
第四步: 对于 $X$ closed alg. subvar. of a smooth quasi-proj. var. $M$ and $\mathcal{F}$ coh. sheaf of $\mathcal{O}_X$-mod. 记 $i:X\hookrightarrow M$ embedding, 有 finite locally free resol.
\[0\to F_n\to \cdots \to F_1\to F_0\to i_*\mathcal{F}\to 0.\]set $U:=M\backslash X$, let $K_i:=\ker (F_i|_U\to F_{i-1}|_U), i=1,2,\cdots,n$. Put $K_0=F_0|_U$, 我们有, 在 $U$ 上,
\[0\to K_{i+1}\to F_{i+1}\to K_i\to 0,i=0,1,\cdots.\]由于 $F_i$ 都是 locally free 的, 这些 exact seq. 都是 split 的. 因此, 我们有 isom. of $C^\infty$-v.b.
\[F_{i+1}|_U\simeq K_i\oplus K_{i+1}.\]现在, set $F^{ev}=\oplus_{i\geq 0} F_{2i}, F^{odd}=\oplus_{i\geq 0} F_{2i+1}$. 有
\[F^{ev}|_{U}\simeq \oplus_{i\geq 0}K_i \simeq F^{odd}|_U. \]我们给出
\[u:F^{ev}|_{U}\simeq F^{odd}|_{U}.\]于是, 根据 Chern-Simons construction, 我们给出
\[\operatorname{ch}^*(F^{ev},F^{odd},u)\in H^*(M,M\backslash X)\]现在, 令 $\operatorname{ch}_\ast (\mathcal{F})$ 定义为 $\operatorname{ch}^\ast (F^{ev},F^{odd},u)$ 在 $H_\ast (X)\simeq H^\ast (M.M\setminus X)$ 下的像. 于是可以证明 $\operatorname{ch}_\ast (\mathcal{F})$ 与上述 construction 的选取无关.
这样, 我们便完成了这纷乱复杂的构造.
Remark (5.8.12) 是说, 对于 $X$ smooth, 我们可以在 $X$ 上找出 free resol. $0\to E^m\to E^{m-1}\to \cdots\to \mathcal{F}\to 0.$
在这种情况下, 取 $\operatorname{ch}_\ast (\mathcal{F})=\operatorname{ch}^\ast \mathcal{F}\cap [X]\in H_\ast (X)$, $\operatorname{ch}^\ast \mathcal{F}=\sum (-1)^i\operatorname{ch}^\ast (E^i)$, 这么定义出来的 Chern class 与 $\operatorname{ch}^\ast (F^{ev},F^{odd},u)$, $X\hookrightarrow M$ 下定义的 Chern class 是一致的.
Prop. 5.8.13. The Chern char. map has the following properties,
(i) Normalization: For any complex alg. var. $X$, we have $\operatorname{ch}_\ast (\mathcal{O}_X)=[X]+r\in H_\ast (X)$, where $r$ a sum of hom. classes of degree $<2\dim_{\mathbb{C}}X$.
(ii) Additivity: For s.e.s. of sheaves on $X$,
\[0\to \mathcal{F}'\to \mathcal{F}\to \mathcal{F}''\to 0,\]we have $\operatorname{ch}_\ast (\mathcal{F})=\operatorname{ch}_\ast (\mathcal{F}’)+\operatorname{ch}_\ast (\mathcal{F}’’)$. Hence $\mathcal{F}\mapsto \operatorname{ch}_\ast (\mathcal{F})$ 给出了 homo. of abelian gps $\operatorname{ch}_\ast :K(X)\to H_\ast (X)$.
(iii) Restriction to an open subset: $U$ Zar. open subset of a smooth var. $M$, $X\subset M$ closed subvar. $i:X\cap U\hookrightarrow X$ induced embedding. Then the following diag. commutes:
Theorem 5.8.14. (Riemann-Roch for singular var.) given a comm. diag.
where the morph $f$ is proper, and $M,N$ are smooth, one has
\[Td_N\cdot f_*(\operatorname{ch_*(\mathcal{F})})=f_*(Td_M\cdot \operatorname{ch}_*\mathcal{F}), \mathcal{F}\in K(X).\]这里的 $Td$, 指的是 Todd class. 他是原代数簇切丛的陈类.
Prop. 5.8.15.
(i) The homological Chern char. map 与 $K$-theory 中的 specialization 交换, 以及
(ii) $Z,Z’\subset M$ closed subvar. of a smooth var. $M$. Then the following diag. commutes:
horizontal maps given by tensor prod. with supports in $K$-theory and the intersection pairing in homology respectively.
注意, 我们并没有 claim homological Chern char. 和 convolution 之间的 commute 关系. 实际上, 5.8.14 表示了, 我们需要 “correction factors” involving Todd classes. 在这 chapter 的末尾, 我们会讨论这个.
不管怎样, 5.8 竣工了().