这个定理, 结合 Lemma 5.4.9, 可以直接看出对于其 zero-section $i:X\hookrightarrow V$, $i^\ast $ 为 Thom isom $\pi^\ast $ 的逆.
接下来是 Convolution action. Setting 是 $K$-theory 给出了 $R(G)$-linear 的 map
\[K^G(M_1\times M_2)\otimes_{R(G)}K^G(M_2)\to K^G(M_1),\]或者等价地
\[\rho_M:K^G(M_1\times M_2)\to \operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(M_2), K^G(M_1)).\]s 现在我们给出 $\rho_r:E_r\to M_r$ $G$-equiv. v.b., 我们可能想搞一个 v.b. 的版本, 但由于 $E_r$ 不一定 compact, 上述构造中的 proper condition 不一定成立. 因此, 搞不出来这个 action.
现在, 我们要考虑 $\bar{p}:E_1\times E_2\to E_1\times M_2$ natural proj. 考虑 closed $G$-stable var. $Z\subset E_1\times E_2$, 我们希望 $Z$ 足够好使得 $\bar{p}|_{Z}$ 是 proper 的. 这样 convolution 和 closed embedding $(Z\circ E_2)\hookrightarrow E_1$ 就诱导了 well-def. 的 morph. $K^G(Z)\otimes K^G(E_2)\to K^G(Z\circ E_2)\to K^G(E_1)$. 于是就给出了
\[\rho_E:K^G(Z)\to\operatorname{Hom}_{R(G)}(K^G(E_2),K^G(E_1)).\]而, 与此同时, 根据 zero-section $i_r:M_r\hookrightarrow E_r$, $\bar{i}:M_1\times M_2\hookrightarrow E_1\times M_2$, 有
\[K^G(Z)\overset{\bar{p}_*}{\to}K^G(E_1\times M_2)\overset{\bar{i}^*}{\to}K^G(M_1\times M_2).\]Lemma 5.4.27: The follow diag. commutes
考虑如下 diag.
其中中间的方块是一个 commutative diag. 于是根据 5.3.15, 我们诱导了右下的(自然整个的) commutative diag.
而原 lemma 等价于说明
\[(\bar{i}^*\bar{p}_*\mathcal{F})\ast \mathcal{G}=i_1^*(\mathcal{F}\ast p_2^*\mathcal{G}).\]根据 convolution 的定义, 其等价于
\[q_{1*}(\bar{i}^*\bar{p}_*\mathcal{F}\otimes q_2^*\mathcal{G})=i^*_1(\bar{p}_{1*}(\mathcal{F}\otimes\operatorname{pr}^*\mathcal{G})).\]而
\[i^*_1\bar{p}_{1*}(\mathcal{F}\otimes\operatorname{pr}^*\mathcal{G})=q_{1*}(\bar{i}^*\bar{p}_*)(\mathcal{F}\otimes\operatorname{pr}^*\mathcal{G}).\]注意 $\operatorname{pr}^\ast \mathcal{G}$ 其实就是 $p^\ast \operatorname{pr}^\ast \mathcal{G}$. 于是根据 proj. formula
\[q_{1*}(\bar{i}^*\bar{p}_*)(\mathcal{F}\otimes\operatorname{pr}^*\mathcal{G})=q_{1*}\bar{i}^*(\bar{p}_*\mathcal{F}\otimes\operatorname{pr}^*\mathcal{G})=q_{1*}(\bar{i}^*\bar{p}_*\mathcal{F}\otimes q^*\mathcal{G}).\]命题得证.
现在, 取 $M_1=M_2=M$, $E_1=E_2=E$, $Z\subset E\times E$, 我们有
Cor 5.4.34: assume $Z\circ Z\subset Z$, 则 5.4.27 转化为如下 comm. diag.
(哪有 $\operatorname{End}$ 后面还写俩元素的啊..)
而, 我们注意 Borel-Moore 拥有如下性质: 在 $\pi:V\to X$ locally-trivial oriented $C^\infty$-v.b. 对于 $i:X\hookrightarrow V$ zero-sec. 有 $i^\ast ,\pi^\ast $ 实际上给出了 mutually inverse isom. of Borel-Moore hom:
\[H_*(X)\leftrightarrow H_{*+r}(V).\](2.6.42)
因此, 我们有 commute diag. (Lemma 5.4.35)